قد يعطي التعبير نفسه نتائج مختلفة على آلات حاسبة مختلفة. والسبب في الغالب الأعم هو طريقة تعريف كل منها لأولويات المؤثرات. يعرض هذا الدليل جدول الأولويات الكامل في SciKey، ويتوقف مليًّا عند ثلاثة تعبيرات تثير الجدل باستمرار: -2^2 و2^3^2 و6÷2(1+2).
1. الأولويات في SciKey (الأعلى أولًا)
| المستوى | العملية | اتجاه التجميع | مثال |
|---|---|---|---|
| 1 | الأقواس، استدعاء الدوال | (1+2)، sin(30) | |
| 2 | المؤثرات اللاحقة ! % ° | من اليسار إلى اليمين | 5! = 120، 50% = 0.5 |
| 3 | القوة ^ | من اليمين إلى اليسار | 2^3^2 = 512 |
| 4 | الأحادية - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | × و÷ وmod والضرب الضمني | من اليسار إلى اليمين | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | + و− | من اليسار إلى اليمين | 10−4−3 = 3 |
المؤثرات في المستوى نفسه تتبع اتجاه تجميعها: 8÷2÷2 تعني (8÷2)÷2 = 2، و10−4−3 تعني (10−4)−3 = 3.
2. لماذا -2^2 تساوي −4
في الرياضيات يُقرأ −2² على أنه −(2²) = −4: تُحسب القوة أولًا ثم تُطبَّق إشارة السالب على النتيجة. وهي القاعدة نفسها التي تجعل −x² = −4 عندما x = 2. يضع SciKey السالب الأحادي في مرتبة أدنى من الرفع إلى قوة، لذا تعيد -2^2 القيمة −4. ولحساب (−2)² استخدم الأقواس: (-2)^2 = 4.
الإشارة داخل الأس مسموح بها: 2^-3 تعني 2⁻³ = 0.125.
Excel مختلف
في Microsoft Excel تعيد =-2^2 القيمة 4. فتوثيق Microsoft بعنوان "Calculation operators and precedence in Excel" يضع النفي (السالب في −1) فوق النسبة المئوية (%) والرفع إلى قوة (^) في جدول الأولويات، فيحسب Excel القيمة (−2)². إذا اختلف جدول البيانات عن الآلة الحاسبة فاشتبه في هذا. وفي Excel تعطي =-(2^2) القيمة −4.
وتتفاوت لغات البرمجة أيضًا. فلغة Python تحسب -2**2 على أنها −4 (موافقة للاصطلاح الرياضي)، أما JavaScript فتعدّ -2**2 ملتبسة وترفضها كخطأ في الصيغة ما لم تضف أقواسًا.
3. القوى تُحسب من اليمين إلى اليسار: 2^3^2 = 512
في الرياضيات، البرج الأسي مثل 2^3^2 يعني 2^(3²) = 2⁹ = 512، لأن أس الأس يُحسب أولًا. يعامل SciKey المؤثر ^ على أنه يُجمَّع من اليمين، لذا 2^3^2 = 512. وللحصول على (2³)² = 64 اكتب (2^3)^2.
يذكر توثيق Excel أن المؤثرات المتساوية في الأولوية تُحسب من اليسار إلى اليمين، ولا يُستثنى الرفع إلى قوة من ذلك، فتعطي =2^3^2 هناك 64. ومرة أخرى، الأقواس تجعل القصد واضحًا في كل مكان.
4. جدل 6÷2(1+2)
تنتشر هذه المسألة على الإنترنت باستمرار، وينقسم الناس بين من يصر على 9 ومن يصر على 1.
- القراءة 9: الضرب الضمني مجرد ضرب. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- القراءة 1: 2(1+2) وحدة واحدة مثل 2a، فتُحسب أولًا. 6÷(2×3) = 1.
الاستنتاج المنصف ليس أن أحد الطرفين "مخطئ"، بل أن الترميز نفسه ملتبس. والكتابة المهنية تتجنبه وتستخدم خط الكسر أو الأقواس بدلًا منه.
اختيار SciKey
يعطي SciKey الضرب الضمني الأولوية نفسها للضرب والقسمة العاديين ويحسب من اليسار إلى اليمين. لذلك:
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1.57079632679 (وتُعرض أيضًا π/2)- ولحساب 1/(2π) اكتب
1/(2π)= 0.159154943092
اخترنا ذلك لأن القاعدة الواحدة أسهل في التنبؤ: الضرب والقسمة يجريان بترتيب الكتابة، سواء ظهرت العلامة أم لم تظهر.
آلات حاسبة أخرى
بعض الشركات المصنعة والطرازات مصممة لحساب الضرب المحذوف العلامة قبل × أو ÷ العاديين، فقد يعطي التعبير نفسه 1. يختلف السلوك من طراز لآخر، فراجع دليل آلة الامتحان الحاسبة. والنهج الأسلم ألا تكتب تعبيرًا ملتبسًا من الأساس.
5. المؤثرات اللاحقة و%
تُطبَّق ! و% و° على القيمة التي تسبقها مباشرة فقط.
3!2= 3! × 2 = 12 (ضرب ضمني)2×3!= 12، بينما(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0.15 = 30100+10%= 100 + 0.1 = 100.1
انتبه للأخير. بعض الآلات الحاسبة المكتبية تفسر 100 + 10 % على أنها "أضف 10% إلى 100" (= 110)، لكن % في SciKey تقسم على 100 فحسب. ولزيادة 10% اكتب 100×(1+10%) = 110.
6. أولوية mod وإشارتها
تقع mod في مستوى الضرب: 2+7 mod 3 تعني 2 + (7 mod 3) = 3. وتأخذ النتيجة إشارة المقسوم عليه: -7 mod 3 = 2 و7 mod -3 = −2. في -7 mod 3 يرتبط السالب الأحادي بالعدد 7 أولًا، لأن الإشارات الأحادية أعلى رتبة من مستوى الضرب.
7. الدوال والثوابت والقوى
لاستدعاءات الدوال أعلى أولوية، لذا فإن sin(30)^2 تعني (sin 30°)² = 0.25، مثل sin²30° في الكتب المدرسية (DEG). ولحساب جيب 30² ضعها داخل القوس: sin(30^2). ولأن SciKey يشترط الأقواس للدوال، فلا يُقبل أبدًا إدخال ملتبس مثل sin 30^2.
القوة بعد ثابت ترتبط أقوى من الضرب الضمني. 2π^2 تعني 2×(π²) = 19.7392088022، وليس (2π)² = 39.4784176044. ولهذا أيضًا تعمل مساحة سطح الكرة 4πr² كما هو مقصود حين تُكتب 4πx^2.
8. أزل الالتباس بالأقواس
أوثق من حفظ القواعد أن تستخدم الأقواس بسخاء.
| المقصود | إدخال ملتبس | إدخال واضح |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
الأحرف a وb وt وR وC في الجدول رموز توضيحية؛ في SciKey عوّض عنها بأعداد أو بالمتغيرات x وy وz (لاحظ أن R محجوز لثابت الغازات). والتعبير e^-t/RC في الصف الثالث يُحسب على أنه (e^−t)/RC. كلما كان الأس تعبيرًا فضعه بين قوسين. الأقواس الزائدة لا تجعل الإجابة خاطئة أبدًا؛ أما الأقواس الناقصة فكثيرًا ما تفعل.
9. الخلاصة
- القوى قبل السالب الأحادي:
-2^2= −4 (يعطي Excel القيمة 4) - القوى من اليمين إلى اليسار:
2^3^2= 512 - ×، ÷ والضرب الضمني في مستوى واحد، من اليسار إلى اليمين:
6÷2(1+2)= 9 %تقسم على 100:100+10%= 100.1- عند الشك أضف أقواسًا