اللوغاريتم هو عكس الرفع إلى قوة. بما أن 10³ = 1000 فإن log₁₀ 1000 = 3: فهو يجيب عن سؤال "كم مرة يجب أن أضرب للوصول إلى هذا العدد؟" تستخدم العلوم والهندسة اللوغاريتمات لضغط الكميات التي تمتد على نطاقات هائلة، مثل تركيز أيونات الهيدروجين وشدة الصوت وطاقة الزلازل، في أعداد يسهل التعامل معها. يتناول هذا الدليل دوال اللوغاريتم في SciKey وتغيير الأساس وقوانين اللوغاريتمات وأمثلة عملية.
1. دوال اللوغاريتم في SciKey
| الإدخال | المعنى | مثال |
|---|---|---|
log(x) | اللوغاريتم العشري (الأساس 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | اللوغاريتم الطبيعي (الأساس e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | لوغاريتم x للأساس a، أي logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | اللوغاريتم للأساس 2 | log2(1024) = 10 |
في log(a, x) يُكتب الأساس أولًا، وهو الترتيب نفسه في آلات Casio الحاسبة. log(2, 8) تعني log₂8 = 3، بينما log(8, 2) تعني log₈2 = 0.333333333333 (= 1/3). دالة LOG في جداول البيانات تأخذ LOG(العدد, الأساس)، أي بالترتيب المعاكس، فانتبه عند نقل المعادلات بين الأدوات.
الدالتان العكسيتان هما 10^x وe^x (أو exp(x)). و10^(log(7)) تعيد 7.
2. تغيير الأساس
يمكن حساب اللوغاريتم لأي أساس بدالة لوغاريتم واحدة:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
مثال: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466، وهي النتيجة نفسها لـ log(2, 1000). وتخبرك أيضًا بأن 1000 يحتاج إلى 10 بتات في النظام الثنائي (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
ضع كل لوغاريتم بين أقواسه الخاصة. ln(1000)/ln(2) صحيحة؛ أما log 1000/log 2 فليس فيها أقواس للدوال وتُرفض كإدخال غير صالح.
3. قوانين اللوغاريتمات
| القانون | الصيغة | التحقق |
|---|---|---|
| الضرب | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| القسمة | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| القوة | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| لوغاريتم الواحد | log 1 = 0 | لأي أساس |
| لوغاريتم الأساس نفسه | logₐa = 1 | ln e = 1 |
قيم مفيدة للتقدير الذهني: log 2 ≈ 0.30103، log 3 ≈ 0.47712، ln 2 ≈ 0.693147، ln 10 ≈ 2.302585.
4. المثال 1: الأس الهيدروجيني pH
pH = −log[H⁺]، حيث [H⁺] تركيز أيونات الهيدروجين بوحدة mol/L.
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L ←
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - وبالعكس، محلول قيمة pH فيه 3.5 يحتوي على
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴ mol/L
كل انخفاض في pH بمقدار وحدة واحدة يعني أيونات هيدروجين أكثر بعشر مرات: فالمحلول ذو pH 3 يحتوي على 100 ضعف ما في المحلول ذي pH 5.
في -log(...) تنطبق إشارة السالب على اللوغاريتم كله، لأن استدعاءات الدوال تُحسب قبل الإشارات الأحادية.
5. المثال 2: الديسيبل
- نسبة القدرة: dB = 10 log(P₂/P₁). كسب قدرة 200 مرة ←
10log(200)= 23.0102999566 dB - نسبة الجهد أو ضغط الصوت: dB = 20 log(V₂/V₁). كسب جهد 5 مرات ←
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB تعني تقريبًا مضاعفة القدرة:
10log(2)= 3.01029995664
كثيرون يتعثرون في المعامل 10 للقدرة مقابل 20 للسعة. فالقدرة تتناسب مع مربع السعة، وlog(V²) = 2 log V، ومن هنا جاء العدد 20.
6. المثال 3: زمن التضاعف مع الفائدة المركبة
بفائدة مركبة سنوية 5% يحقق زمن التضاعف n المعادلة 1.05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1.05 ← ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 سنة
وتعطي log(1.05, 2) النتيجة نفسها. وقاعدة 72 المعروفة (72 ÷ 5 = 14.4 سنة) تقريب لهذه القيمة.
7. المثال 4: عمر النصف
باعتبار عمر النصف للكربون-14 نحو 5,730 سنة، فإن عينة بقي فيها 30% من الكربون-14 الأصلي يبلغ عمرها
t = عمر النصف × ln(النسبة المتبقية) / ln(0.5) ← 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
أي نحو 9,950 سنة. كلٌّ من ln(0.3) وln(0.5) سالب، لذا تكون النسبة موجبة. وبالطريقة نفسها تُعالَج مسائل تخلص الجسم من الدواء وتفريغ المكثف (e^(−t/RC)).
مثال المكثف: في دائرة فيها RC = 2 s، الزمن اللازم لهبوط الجهد إلى 10% هو t = −RC ln(0.1) ← -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. المثال 5: قدر الزلزال وطاقته
كل زيادة بمقدار درجة واحدة في قدر العزم الزلزالي تطلق طاقة أكبر بنحو 10^1.5، أي قرابة 32 مرة. ولفرق في القدر مقداره ΔM تكون نسبة الطاقة 10^(1.5ΔM).
- القدر 6 مقابل 5:
10^1.5← 31.6227766017 مرة - القدر 7 مقابل 5:
10^(1.5×2)← 1000 مرة
لأن الأس تعبير فإنه يحتاج إلى أقواس: 10^(1.5×2). أما كتابة 10^1.5×2 فتعطي (10^1.5)×2 = 63.2455532034.
9. المثال 6: عدّ أرقام عدد ضخم
العدد الصحيح الموجب N له floor(log N) + 1 رقمًا. كم رقمًا في 2⁶⁴؟ floor(64log(2))+1 ← 20. وبالفعل فإن 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616 مكوَّن من 20 رقمًا. تتيح لك اللوغاريتمات تقدير حجم أعداد يصعب حسابها مباشرة.
10. أخطاء المجال
اللوغاريتمات الحقيقية معرَّفة للأعداد الموجبة فقط.
log(0)← خطأ رياضي. كلما اقتربت x من 0 تنخفض log x بلا حد (−∞).ln(-5)← خطأ رياضي. لوغاريتم العدد السالب عدد مركب، وSciKey لا يدعم الأعداد المركبة.- لوغاريتم العدد الموجب الأصغر من 1 سالب فحسب وليس خطأ:
log(0.001)= −3.
إذا أعطى تعبير ما خطأً، فتحقق مما إذا كانت القيمة داخل اللوغاريتم قد أصبحت صفرًا أو سالبة، كما في ln(1-x) عندما x = 1.2.
11. أخطاء شائعة
- الخلط بين log وln. في بعض المجالات (الرياضيات البحتة وبعض كتب الفيزياء) تعني "log" اللوغاريتم الطبيعي. تحقق من الأساس الذي يستخدمه مرجعك.
- ترتيب الوسائط في log(a, x). في SciKey وآلات Casio يأتي الأساس أولًا.
- تفكيك log(a+b) إلى log a + log b. اللوغاريتمات تحوّل الضرب إلى جمع، ولا تبسّط الجمع. القانون الصحيح هو log(ab) = log a + log b.
- معاملات الديسيبل. 10 للقدرة، و20 للسعة.