Une même expression peut donner des résultats différents selon la calculatrice. Presque toujours, la raison tient à la façon dont chacune définit la priorité des opérateurs. Ce guide présente la table complète des priorités de SciKey et examine de près trois expressions qui relancent régulièrement les débats : -2^2, 2^3^2 et 6÷2(1+2).
1. Priorités dans SciKey (de la plus haute à la plus basse)
| Rang | Opération | Associativité | Exemple |
|---|---|---|---|
| 1 | Parenthèses, appels de fonction | (1+2), sin(30) | |
| 2 | Postfixés ! % ° | De gauche à droite | 5! = 120, 50% = 0.5 |
| 3 | Puissance ^ | De droite à gauche | 2^3^2 = 512 |
| 4 | Unaires - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | ×, ÷, mod, multiplication implicite | De gauche à droite | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | +, − | De gauche à droite | 10−4−3 = 3 |
Les opérateurs de même rang suivent leur associativité : 8÷2÷2 vaut (8÷2)÷2 = 2 et 10−4−3 vaut (10−4)−3 = 3.
2. Pourquoi -2^2 vaut −4
En mathématiques, −2² se lit −(2²) = −4 : la puissance passe d’abord et le signe moins s’applique au résultat. C’est la même règle qui donne −x² = −4 pour x = 2. SciKey place le moins unaire sous la puissance, donc -2^2 renvoie −4. Pour (−2)², utilisez des parenthèses : (-2)^2 = 4.
Un signe dans l’exposant est permis : 2^-3 vaut 2⁻³ = 0.125.
Excel fait autrement
Dans Microsoft Excel, =-2^2 renvoie 4. La documentation de Microsoft, « Opérateurs de calcul et priorité dans Excel », place la négation (le moins de −1) au-dessus du pourcentage (%) et de l’exponentiation (^) dans sa table des priorités : Excel calcule donc (−2)². Si un tableur et une calculatrice ne sont pas d’accord, pensez-y. Dans Excel, =-(2^2) donne −4.
Les langages de programmation varient aussi. Python évalue -2**2 à −4 (conformément à la convention mathématique), tandis que JavaScript juge -2**2 ambigu et le rejette comme erreur de syntaxe si l’on n’ajoute pas de parenthèses.
3. Les puissances vont de droite à gauche : 2^3^2 = 512
En mathématiques, une tour comme 2^3^2 signifie 2^(3²) = 2⁹ = 512, car l’exposant de l’exposant est évalué en premier. SciKey traite ^ comme associatif à droite, donc 2^3^2 = 512. Pour (2³)² = 64, écrivez (2^3)^2.
La documentation d’Excel indique que les opérateurs de même priorité sont évalués de gauche à droite, exponentiation comprise : =2^3^2 y donne donc 64. Là encore, les parenthèses rendent l’intention claire partout.
4. Le débat 6÷2(1+2)
Cette expression circule sans cesse en ligne, avec des camps qui tiennent pour 9 ou pour 1.
- Lecture « 9 » : une multiplication implicite n’est qu’une multiplication. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- Lecture « 1 » : 2(1+2) forme un bloc, comme 2a, qui passe en premier. 6÷(2×3) = 1.
La conclusion honnête n’est pas qu’un camp aurait « tort », mais que la notation est ambiguë. Les textes professionnels l’évitent au profit d’une barre de fraction ou de parenthèses.
Le choix de SciKey
SciKey donne à la multiplication implicite la même priorité qu’à la multiplication et à la division ordinaires et évalue de gauche à droite. Donc :
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1.57079632679 (également affiché π/2)- Pour 1/(2π), tapez
1/(2π)= 0.159154943092
Nous avons fait ce choix parce qu’une règle unique est plus facile à anticiper : multiplications et divisions s’effectuent dans l’ordre d’écriture, que le signe soit visible ou non.
Les autres calculatrices
Certains fabricants et modèles sont conçus pour évaluer une multiplication au signe omis avant un × ou ÷ ordinaire : la même expression peut alors donner 1. Le comportement dépend du modèle ; consultez le mode d’emploi de votre calculatrice d’examen. Le plus sûr reste de ne jamais saisir d’expression ambiguë.
5. Opérateurs postfixés et %
!, % et ° ne portent que sur la valeur qui les précède immédiatement.
3!2= 3! × 2 = 12 (multiplication implicite)2×3!= 12, alors que(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0.15 = 30100+10%= 100 + 0.1 = 100.1
Attention au dernier. Certaines calculatrices de bureau interprètent 100 + 10 % comme « ajouter 10 % à 100 » (= 110), mais le % de SciKey divise simplement par 100. Pour une majoration de 10 %, tapez 100×(1+10%) = 110.
6. Priorité et signe de mod
mod se situe au rang de la multiplication : 2+7 mod 3 vaut 2 + (7 mod 3) = 3. Le résultat prend le signe du diviseur : -7 mod 3 = 2 et 7 mod -3 = −2. Dans -7 mod 3, le moins unaire s’attache d’abord au 7, car les signes unaires sont au-dessus du rang de la multiplication.
7. Fonctions, constantes et puissances
Les appels de fonction ont la priorité maximale : sin(30)^2 vaut donc (sin 30°)² = 0.25, comme sin²30° dans un manuel (DEG). Pour le sinus de 30², placez-le à l’intérieur : sin(30^2). Comme SciKey exige des parenthèses pour les fonctions, une saisie ambiguë comme sin 30^2 n’est jamais acceptée.
Une puissance placée après une constante est plus prioritaire que la multiplication implicite. 2π^2 vaut 2×(π²) = 19.7392088022, et non (2π)² = 39.4784176044. C’est aussi pourquoi l’aire d’une sphère, 4πr², saisie 4πx^2, fonctionne comme prévu.
8. Lever l’ambiguïté avec des parenthèses
Plus fiable que d’apprendre les règles par cœur : utiliser les parenthèses sans compter.
| Intention | Saisie ambiguë | Saisie claire |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
Les lettres a, b, t, R et C du tableau sont des marque-places ; dans SciKey, remplacez-les par des nombres ou par les variables x, y, z (notez que R désigne déjà la constante des gaz parfaits). Le e^-t/RC de la troisième ligne est évalué comme (e^−t)/RC. Dès que l’exposant est une expression, mettez-le entre parenthèses. Une parenthèse de trop ne fausse jamais un résultat ; une parenthèse manquante, souvent.
9. En résumé
- Puissance avant moins unaire :
-2^2= −4 (Excel donne 4) - Puissances de droite à gauche :
2^3^2= 512 - ×, ÷ et multiplication implicite au même rang, de gauche à droite :
6÷2(1+2)= 9 %divise par 100 :100+10%= 100.1- En cas de doute, ajoutez des parenthèses