Un logarithme défait une puissance. Comme 10³ = 1000, log₁₀ 1000 = 3 : il répond à la question « combien de fois faut-il multiplier pour atteindre ce nombre ? ». Les sciences et l’ingénierie utilisent les logarithmes pour ramener à des nombres maniables des grandeurs qui couvrent des plages immenses, comme la concentration en ions hydrogène, l’intensité sonore ou l’énergie d’un séisme. Ce guide présente les fonctions logarithmes de SciKey, le changement de base, les propriétés des logarithmes et des exemples pratiques.
1. Les fonctions logarithmes de SciKey
| Saisie | Signification | Exemple |
|---|---|---|
log(x) | Logarithme décimal (base 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Logarithme népérien (base e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Logarithme de x en base a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Logarithme en base 2 | log2(1024) = 10 |
Dans log(a, x), la base vient en premier, dans le même ordre que sur les calculatrices Casio. log(2, 8) est log₂8 = 3, tandis que log(8, 2) est log₈2 = 0.333333333333 (= 1/3). La fonction LOG des tableurs prend LOG(nombre, base), l’ordre inverse : attention en recopiant des formules d’un outil à l’autre.
Les réciproques sont 10^x et e^x (ou exp(x)). 10^(log(7)) renvoie 7.
2. Changement de base
N’importe quelle base se calcule avec une seule fonction logarithme :
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Exemple : log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466, comme log(2, 1000). On en déduit au passage que 1000 nécessite 10 bits en binaire (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Mettez chaque logarithme entre ses propres parenthèses. ln(1000)/ln(2) est correct ; log 1000/log 2 n’a pas de parenthèses de fonction et est refusé comme saisie invalide.
3. Propriétés des logarithmes
| Propriété | Formule | Vérification |
|---|---|---|
| Produit | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| Quotient | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| Puissance | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| Logarithme de 1 | log 1 = 0 | Quelle que soit la base |
| Logarithme de la base | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Valeurs utiles pour le calcul mental : log 2 ≈ 0.30103, log 3 ≈ 0.47712, ln 2 ≈ 0.693147, ln 10 ≈ 2.302585.
4. Exemple 1 : le pH
pH = −log[H⁺], où [H⁺] est la concentration en ions hydrogène en mol/L.
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - À l’inverse, une solution de pH 3.5 contient
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴ mol/L
Chaque unité de pH en moins correspond à dix fois plus d’ions hydrogène : une solution de pH 3 en contient 100 fois plus qu’une solution de pH 5.
Dans -log(...), le signe moins porte sur tout le logarithme, car les appels de fonction sont évalués avant les signes unaires.
5. Exemple 2 : les décibels
- Rapport de puissances : dB = 10 log(P₂/P₁). Un gain en puissance de 200× →
10log(200)= 23.0102999566 dB - Rapport de tensions ou de pressions acoustiques : dB = 20 log(V₂/V₁). Un gain en tension de 5× →
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB correspondent à peu près à un doublement de la puissance :
10log(2)= 3.01029995664
Le facteur 10 pour la puissance contre 20 pour l’amplitude déroute beaucoup de monde. La puissance est proportionnelle au carré de l’amplitude, et log(V²) = 2 log V : d’où le 20.
6. Exemple 3 : temps de doublement à intérêts composés
À 5 % d’intérêts composés annuels, le temps de doublement n vérifie 1.05ⁿ = 2 :
n = ln 2 / ln 1.05 → ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 ans
log(1.05, 2) donne le même résultat. La célèbre règle de 72 (72 ÷ 5 = 14.4 ans) en est une approximation.
7. Exemple 4 : la demi-vie
En prenant pour le carbone 14 une demi-vie d’environ 5 730 ans, un échantillon qui conserve 30 % de son carbone 14 initial a pour âge
t = demi-vie × ln(fraction restante) / ln(0.5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
soit environ 9 950 ans. ln(0.3) et ln(0.5) sont tous deux négatifs, le rapport est donc positif. La même méthode s’applique à l’élimination d’un médicament et à la décharge d’un condensateur (e^(−t/RC)).
Exemple de condensateur : dans un circuit où RC = 2 s, le temps nécessaire pour que la tension tombe à 10 % est t = −RC ln(0.1) → -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. Exemple 5 : magnitude et énergie d’un séisme
Chaque degré de magnitude (de moment) libère environ 10^1.5 fois, soit à peu près 32 fois, plus d’énergie. Pour une différence de magnitude ΔM, le rapport des énergies est 10^(1.5ΔM).
- Magnitude 6 contre 5 :
10^1.5→ 31.6227766017 fois - Magnitude 7 contre 5 :
10^(1.5×2)→ 1000 fois
L’exposant étant une expression, il faut des parenthèses : 10^(1.5×2). Taper 10^1.5×2 donne (10^1.5)×2 = 63.2455532034.
9. Exemple 6 : compter les chiffres d’un très grand nombre
Un entier positif N comporte floor(log N) + 1 chiffres. Combien de chiffres compte 2⁶⁴ ? floor(64log(2))+1 → 20. En effet, 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616 compte 20 chiffres. Les logarithmes permettent d’estimer la taille de nombres difficiles à calculer directement.
10. Erreurs de domaine
Les logarithmes réels ne sont définis que pour les nombres strictement positifs.
log(0)→ erreur mathématique. Quand x tend vers 0, log x décroît sans limite (−∞).ln(-5)→ erreur mathématique. Le logarithme d’un nombre négatif est complexe, et SciKey ne gère pas les nombres complexes.- Le logarithme d’un nombre positif inférieur à 1 est simplement négatif ; ce n’est pas une erreur :
log(0.001)= −3.
Si une expression renvoie une erreur, vérifiez si la valeur à l’intérieur d’un logarithme est devenue nulle ou négative, comme dans ln(1-x) avec x = 1.2.
11. Erreurs fréquentes
- Confondre log et ln. Dans certains domaines (mathématiques pures, certains textes de physique), « log » désigne le logarithme népérien. Vérifiez quelle base utilise votre source.
- L’ordre des arguments de log(a, x). Dans SciKey et sur les calculatrices Casio, la base vient en premier.
- Décomposer log(a+b) en log a + log b. Les logarithmes transforment les produits en sommes, pas l’inverse. La règle valable est log(ab) = log a + log b.
- Les facteurs des décibels. 10 pour la puissance, 20 pour l’amplitude.