La cause la plus fréquente d’un résultat trigonométrique faux à la calculatrice n’est pas la formule, mais le mode d’angle. Le même sin(30) vaut 0.5 en DEG et −0.988 en RAD. Ce guide présente les trois unités d’angle, les conversions entre elles, la façon de saisir des degrés dans SciKey quel que soit le mode, et la raison d’être des radians.
1. Trois unités d’angle
| Unité | Tour complet | Angle droit | Usage courant |
|---|---|---|---|
| Degrés (DEG) | 360° | 90° | Vie courante, topographie, plans, géométrie scolaire |
| Radians (RAD) | 2π ≈ 6.28319 | π/2 ≈ 1.5708 | Analyse, physique (vitesse angulaire, oscillations), programmation |
| Grades (GRAD, gon) | 400 gon | 100 gon | Une partie de la topographie européenne |
Un radian est l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Pour un cercle de rayon r, la longueur d’arc s et l’angle θ en radians sont liés par la formule simple s = rθ. La circonférence mesure 2πr, donc un tour complet vaut 2π radians.
2. Formules de conversion
- radians = degrés × π / 180
- degrés = radians × 180 / π
- 1 rad = 57.2957795131°, 1° = 0.0174532925199 rad
- 1 gon = 0.9°, 100 gon = 90°
SciKey propose des fonctions de conversion : rad(30) = 0.523598775598 (= π/6) et deg(1) = 57.2957795131.
3. Erreurs dues au mauvais mode
| Saisie | Mode DEG | Mode RAD |
|---|---|---|
sin(30) | 0.5 | −0.988031624093 |
cos(60) | 0.5 | −0.952412980415 |
50tan(35) | 35.0103769105 | 23.6907360207 |
En mode RAD, sin(30) est le sinus de 30 radians, soit environ 4.77 tours : la réponse n’a plus rien à voir. Si un résultat est négatif sans raison ou simplement étrange, vérifiez l’indicateur de mode avant de douter de la formule.
La dernière ligne est un cas concret : un immeuble vu à 50 m sous un angle d’élévation de 35° mesure 50 tan 35° ≈ 35.01 m. Le mode RAD donne 23.69 m, valeur plausible, donc facile à laisser passer. Deux habitudes l’évitent :
- Réglez le mode avant de commencer.
- Ajoutez
°aux angles donnés en degrés.
4. Le suffixe ° : des degrés dans n’importe quel mode
Ajouter ° à un nombre le marque comme degrés et le convertit dans l’unité d’angle courante. Ainsi, même en mode RAD, sin(30°) vaut 0.5. Cela permet de traiter une valeur ponctuelle en degrés dans un problème de physique mené en radians, sans changer de mode.
Dans l’autre sens, pour utiliser une valeur en radians en mode DEG, entourez-la de deg(). Exemple en mode DEG : sin(deg(π/6)) = 0.5.
En modes DEG et GRAD, les fonctions trigonométriques réduisent d’abord l’argument exactement modulo 360° (400 gon) et renvoient des valeurs exactes aux multiples de 90°. D’où sin(180) = 0, cos(90) = 0, et tan(90) non défini, qui renvoie une erreur.
5. Unités des fonctions trigonométriques réciproques
asin, acos et atan renvoient leur résultat dans l’unité d’angle courante.
| Saisie | DEG | RAD | GRAD |
|---|---|---|---|
asin(0.5) | 30 | 0.523598775598 | 33.3333333333 |
atan(1) | 45 | 0.785398163397 | 50 |
Les fonctions réciproques ne renvoient des valeurs que dans un intervalle fixe : asin et atan de −90° à 90°, acos de 0° à 180°. C’est pourquoi la direction du point (−1, −1) calculée par atan((-1)/(-1)) donne 45°, alors que le point se trouve en réalité dans le troisième quadrant, à −135° (ou 225°). Pour une direction à partir de coordonnées, utilisez atan2(y, x), qui tient compte du quadrant : atan2(-1, -1) = −135 (DEG).
Les valeurs hors de l’intervalle −1 à 1, comme dans asin(2), donnent une erreur mathématique. Méfiez-vous des mesures comme 1.0000001 qui dépassent 1 à cause d’un arrondi.
6. Quand utiliser les radians
Analyse
La dérivée de sin x est cos x seulement si x est en radians ; en degrés, un facteur π/180 apparaît. L’approximation des petits angles sin x ≈ x suppose aussi les radians : sin(0.1) (RAD) = 0.0998334166, à peine 0.17 % sous 0.1. Séries de Taylor, primitives usuelles et analyse de Fourier supposent toutes des radians.
Physique : vitesse angulaire et mouvement circulaire
La vitesse angulaire ω se mesure en rad/s. Pour un arbre tournant à 1 500 tr/min :
1500×2π/60→ 157.079632679 (rad/s, = 50π)- Vitesse linéaire à 0.2 m de l’axe :
Ans×0.2→ 31.4159265359 (m/s)
La formule v = rω fonctionne sans facteur de conversion précisément parce que ω est en radians. Les oscillations (x = A sin ωt) et les circuits en courant alternatif (déphasages) se calculent aussi en radians. Comme ωt est déjà en radians, la calculatrice doit être en mode RAD.
Longueur d’arc
Pour un arc de rayon 5 m et d’angle au centre 72°, s = rθ exige θ en radians : 5×rad(72) → 6.28318530718 (m, = 2π). Injecter directement les degrés et obtenir 5×72 = 360 est une étourderie courante.
7. Exemple : pente d’une route (%) et angle
Un panneau « pente 10 % » n’indique pas un angle. Il signifie que la route monte de 10 m pour 100 m à l’horizontale. Pour obtenir l’angle, utilisez l’arc tangente : en mode DEG, atan(0.1) → 5.7105931375°. À l’inverse, une pente de 3° correspond à 100tan(3) → 5.24077792830 %. Les pentes données sous forme de rapport, comme une rampe à 1:12, se traitent de même : atan(1/12) → 4.76364169072°. En mode RAD, atan(0.1) renvoie 0.0996686524912 ; si le résultat est étrangement proche de 0.1, soupçonnez le mode.
8. Vérifier le mode en dix secondes
Si vous n’avez pas vu l’indicateur, calculez sin(90). DEG donne exactement 1, RAD 0.893996663601 et GRAD 0.987688340595. Les résultats sont assez distincts pour servir de vérification rapide en plein examen.
9. En résumé
- Symbole ° dans l’énoncé : DEG ; π, rad/s ou ωt : RAD.
- En cas de doute, indiquez l’unité directement, comme dans
30°. - Les fonctions réciproques renvoient un résultat dans l’unité courante ; utilisez
atan2quand le quadrant compte. - Se demander « ce sinus doit-il vraiment être négatif ? » reste la vérification la plus fiable.