La misma expresión puede dar resultados distintos en calculadoras distintas. Casi siempre, el motivo es cómo define cada una la precedencia de los operadores. Esta guía presenta la tabla completa de precedencia de SciKey y analiza a fondo tres expresiones que generan discusiones una y otra vez: -2^2, 2^3^2 y 6÷2(1+2).
1. Precedencia en SciKey (de mayor a menor)
| Nivel | Operación | Asociatividad | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| 1 | Paréntesis, llamadas a funciones | (1+2), sin(30) | |
| 2 | Posfijos ! % ° | De izquierda a derecha | 5! = 120, 50% = 0.5 |
| 3 | Potencia ^ | De derecha a izquierda | 2^3^2 = 512 |
| 4 | Unarios - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | ×, ÷, mod, multiplicación implícita | De izquierda a derecha | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | +, − | De izquierda a derecha | 10−4−3 = 3 |
Los operadores del mismo nivel siguen su asociatividad: 8÷2÷2 es (8÷2)÷2 = 2 y 10−4−3 es (10−4)−3 = 3.
2. Por qué -2^2 es −4
En matemáticas, −2² se lee como −(2²) = −4: primero va la potencia y el signo menos se aplica al resultado. Es la misma regla por la que −x² = −4 cuando x = 2. SciKey coloca el menos unario por debajo de la potencia, así que -2^2 devuelve −4. Para (−2)², usa paréntesis: (-2)^2 = 4.
Se admite un signo en el exponente: 2^-3 es 2⁻³ = 0.125.
Excel es distinto
En Microsoft Excel, =-2^2 devuelve 4. La documentación de Microsoft, «Operadores de cálculo y prioridad en Excel», sitúa la negación (el menos de −1) por encima del porcentaje (%) y de la potencia (^) en su tabla de prioridades, así que Excel calcula (−2)². Si una hoja de cálculo y una calculadora no coinciden, sospecha de esto. En Excel, =-(2^2) da −4.
Los lenguajes de programación también varían. Python evalúa -2**2 como −4 (igual que la convención matemática), mientras que JavaScript considera -2**2 ambiguo y lo rechaza como error de sintaxis si no añades paréntesis.
3. Las potencias van de derecha a izquierda: 2^3^2 = 512
En matemáticas, una torre como 2^3^2 significa 2^(3²) = 2⁹ = 512, porque primero se evalúa el exponente del exponente. SciKey trata ^ como asociativo por la derecha, así que 2^3^2 = 512. Para (2³)² = 64, escribe (2^3)^2.
La documentación de Excel indica que los operadores con la misma prioridad se evalúan de izquierda a derecha, y la potencia no es una excepción, así que allí =2^3^2 da 64. De nuevo, los paréntesis dejan clara la intención en cualquier herramienta.
4. El debate de 6÷2(1+2)
Esta expresión circula constantemente por internet, con bandos que defienden 9 o 1.
- Lectura como 9: una multiplicación implícita es simplemente una multiplicación. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- Lectura como 1: 2(1+2) es una sola unidad, como 2a, así que va primero. 6÷(2×3) = 1.
La conclusión honesta no es que un bando esté «equivocado», sino que la notación es ambigua. Los textos profesionales la evitan y usan una barra de fracción o paréntesis.
La elección de SciKey
SciKey da a la multiplicación implícita la misma precedencia que a la multiplicación y la división normales y evalúa de izquierda a derecha. Por tanto:
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1.57079632679 (también se muestra como π/2)- Para 1/(2π), escribe
1/(2π)= 0.159154943092
Elegimos esto porque una sola regla es más fácil de prever: la multiplicación y la división van en el orden en que están escritas, se vea o no el signo.
Otras calculadoras
Algunos fabricantes y modelos están diseñados para evaluar una multiplicación con el signo omitido antes que un × o ÷ normal, así que la misma expresión puede dar 1. El comportamiento varía según el modelo, así que consulta el manual de la calculadora de tu examen. Lo más seguro es no escribir nunca una expresión ambigua.
5. Operadores posfijos y %
!, % y ° solo se aplican al valor que tienen justo delante.
3!2= 3! × 2 = 12 (multiplicación implícita)2×3!= 12, mientras que(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0.15 = 30100+10%= 100 + 0.1 = 100.1
Atención al último. Algunas calculadoras de escritorio interpretan 100 + 10 % como «sumar el 10 % a 100» (= 110), pero el % de SciKey simplemente divide entre 100. Para un recargo del 10 %, escribe 100×(1+10%) = 110.
6. Precedencia y signo de mod
mod está en el nivel de la multiplicación: 2+7 mod 3 es 2 + (7 mod 3) = 3. El resultado toma el signo del divisor: -7 mod 3 = 2 y 7 mod -3 = −2. En -7 mod 3, el menos unario se une primero al 7, porque los signos unarios están por encima del nivel de la multiplicación.
7. Funciones, constantes y potencias
Las llamadas a funciones tienen la máxima precedencia, así que sin(30)^2 es (sin 30°)² = 0.25, lo mismo que sin²30° en un libro de texto (DEG). Para el seno de 30², ponlo dentro: sin(30^2). Como SciKey exige paréntesis en las funciones, nunca acepta una entrada ambigua como sin 30^2.
Una potencia detrás de una constante se une más fuerte que la multiplicación implícita. 2π^2 es 2×(π²) = 19.7392088022, no (2π)² = 39.4784176044. Por eso la superficie de una esfera, 4πr², escrita como 4πx^2, funciona como se espera.
8. Elimina la ambigüedad con paréntesis
Más fiable que memorizar reglas es usar paréntesis sin miedo.
| Intención | Entrada ambigua | Entrada clara |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
Las letras a, b, t, R y C de la tabla son marcadores; en SciKey, sustitúyelas por números o por las variables x, y, z (ten en cuenta que R ya está ocupada por la constante de los gases). El e^-t/RC de la tercera fila se evalúa como (e^−t)/RC. Siempre que el exponente sea una expresión, ponlo entre paréntesis. Un paréntesis de más nunca estropea un resultado; uno de menos, a menudo sí.
9. Resumen
- Potencias antes que el menos unario:
-2^2= −4 (Excel da 4) - Potencias de derecha a izquierda:
2^3^2= 512 - ×, ÷ y la multiplicación implícita comparten nivel, de izquierda a derecha:
6÷2(1+2)= 9 %divide entre 100:100+10%= 100.1- En caso de duda, añade paréntesis