Un logaritmo deshace una potencia. Como 10³ = 1000, log₁₀ 1000 = 3: responde a la pregunta «¿cuántas veces hay que multiplicar para llegar a este número?». La ciencia y la ingeniería usan logaritmos para comprimir en números manejables magnitudes que abarcan rangos enormes, como la concentración de iones de hidrógeno, la intensidad del sonido o la energía de un terremoto. Esta guía cubre las funciones logarítmicas de SciKey, el cambio de base, las propiedades de los logaritmos y ejemplos prácticos.
1. Funciones logarítmicas en SciKey
| Entrada | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
log(x) | Logaritmo decimal (base 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Logaritmo natural o neperiano (base e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Logaritmo de x en base a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Logaritmo en base 2 | log2(1024) = 10 |
En log(a, x) la base va primero, el mismo orden que usan las calculadoras Casio. log(2, 8) es log₂8 = 3, mientras que log(8, 2) es log₈2 = 0.333333333333 (= 1/3). La función LOG de las hojas de cálculo usa LOG(número, base), el orden contrario, así que ten cuidado al copiar fórmulas de un sitio a otro.
Las funciones inversas son 10^x y e^x (o exp(x)). 10^(log(7)) devuelve 7.
2. Cambio de base
Cualquier base se puede calcular con una sola función logarítmica:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Ejemplo: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466, igual que log(2, 1000). De paso te dice que 1000 necesita 10 bits en binario (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Pon cada logaritmo entre sus propios paréntesis. ln(1000)/ln(2) es correcto; log 1000/log 2 no lleva los paréntesis de función y se rechaza como entrada no válida.
3. Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Fórmula | Comprobación |
|---|---|---|
| Producto | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| Cociente | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| Potencia | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| Logaritmo de 1 | log 1 = 0 | En cualquier base |
| Logaritmo de la base | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Valores útiles para estimar de cabeza: log 2 ≈ 0.30103, log 3 ≈ 0.47712, ln 2 ≈ 0.693147, ln 10 ≈ 2.302585.
4. Ejemplo 1: pH
pH = −log[H⁺], donde [H⁺] es la concentración de iones de hidrógeno en mol/L.
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - Al revés, una disolución de pH 3.5 tiene
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴ mol/L
Cada unidad que baja el pH supone diez veces más iones de hidrógeno: una disolución de pH 3 tiene 100 veces más que una de pH 5.
En -log(...) el signo menos afecta a todo el logaritmo, porque las llamadas a funciones se evalúan antes que los signos unarios.
5. Ejemplo 2: decibelios
- Relación de potencias: dB = 10 log(P₂/P₁). Una ganancia de potencia de 200× →
10log(200)= 23.0102999566 dB - Relación de tensiones o de presiones sonoras: dB = 20 log(V₂/V₁). Una ganancia de tensión de 5× →
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB equivalen aproximadamente a duplicar la potencia:
10log(2)= 3.01029995664
El factor 10 para potencia frente al 20 para amplitud confunde a mucha gente. La potencia es proporcional al cuadrado de la amplitud, y log(V²) = 2 log V; de ahí el 20.
6. Ejemplo 3: tiempo de duplicación con interés compuesto
Con un interés compuesto anual del 5 %, el tiempo de duplicación n cumple 1.05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1.05 → ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 años
log(1.05, 2) da el mismo resultado. La conocida regla del 72 (72 ÷ 5 = 14.4 años) es una aproximación de este valor.
7. Ejemplo 4: semivida
Tomando como semivida del carbono 14 unos 5730 años, una muestra que conserva el 30 % de su carbono 14 original tiene una edad de
t = semivida × ln(fracción restante) / ln(0.5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
es decir, unos 9950 años. Tanto ln(0.3) como ln(0.5) son negativos, así que el cociente es positivo. El mismo método sirve para la eliminación de fármacos y la descarga de un condensador (e^(−t/RC)).
Ejemplo de condensador: en un circuito con RC = 2 s, el tiempo que tarda la tensión en caer al 10 % es t = −RC ln(0.1) → -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. Ejemplo 5: magnitud y energía de un terremoto
Cada punto de magnitud (de momento) libera unas 10^1.5 veces, es decir, unas 32 veces más energía. Para una diferencia de magnitud ΔM, la razón de energías es 10^(1.5ΔM).
- Magnitud 6 frente a 5:
10^1.5→ 31.6227766017 veces - Magnitud 7 frente a 5:
10^(1.5×2)→ 1000 veces
Como el exponente es una expresión, necesita paréntesis: 10^(1.5×2). Si escribes 10^1.5×2 obtienes (10^1.5)×2 = 63.2455532034.
9. Ejemplo 6: contar las cifras de un número enorme
Un entero positivo N tiene floor(log N) + 1 cifras. ¿Cuántas cifras tiene 2⁶⁴? floor(64log(2))+1 → 20. En efecto, 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616 tiene 20 cifras. Los logaritmos permiten dimensionar números que serían incómodos de calcular directamente.
10. Errores de dominio
Los logaritmos reales solo están definidos para números positivos.
log(0)→ error matemático. Cuando x se acerca a 0, log x decrece sin límite (−∞).ln(-5)→ error matemático. El logaritmo de un número negativo es complejo, y SciKey no admite números complejos.- El logaritmo de un número positivo menor que 1 simplemente es negativo; no es un error:
log(0.001)= −3.
Si una expresión da error, comprueba si el valor dentro de un logaritmo se ha vuelto cero o negativo, como en ln(1-x) con x = 1.2.
11. Errores frecuentes
- Confundir log y ln. En algunos ámbitos (matemática pura, algunos textos de física) «log» significa logaritmo natural. Comprueba qué base usa tu fuente.
- El orden de los argumentos en log(a, x). En SciKey y en las calculadoras Casio, la base va primero.
- Separar log(a+b) en log a + log b. Los logaritmos convierten productos en sumas, no simplifican sumas. La regla válida es log(ab) = log a + log b.
- Factores en decibelios. 10 para potencia, 20 para amplitud.