El motivo más habitual de un resultado trigonométrico erróneo en la calculadora no es la fórmula, sino el modo de ángulo. El mismo sin(30) vale 0.5 en DEG y −0.988 en RAD. Esta guía repasa las tres unidades de ángulo, cómo convertir entre ellas, cómo introducir grados en SciKey sea cual sea el modo y por qué existen los radianes.
1. Tres unidades de ángulo
| Unidad | Vuelta completa | Ángulo recto | Uso típico |
|---|---|---|---|
| Grados sexagesimales (DEG) | 360° | 90° | Vida cotidiana, topografía, planos, geometría escolar |
| Radianes (RAD) | 2π ≈ 6.28319 | π/2 ≈ 1.5708 | Cálculo, física (velocidad angular, oscilaciones), programación |
| Gradianes (GRAD, gon) | 400 gon | 100 gon | Parte de la topografía europea |
Un radián es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. En una circunferencia de radio r, la longitud de arco s y el ángulo θ en radianes cumplen la sencilla relación s = rθ. La circunferencia completa mide 2πr, así que una vuelta son 2π radianes.
2. Fórmulas de conversión
- radianes = grados × π / 180
- grados = radianes × 180 / π
- 1 rad = 57.2957795131°, 1° = 0.0174532925199 rad
- 1 gon = 0.9°, 100 gon = 90°
SciKey tiene funciones de conversión: rad(30) = 0.523598775598 (= π/6) y deg(1) = 57.2957795131.
3. Errores por el modo equivocado
| Entrada | Modo DEG | Modo RAD |
|---|---|---|
sin(30) | 0.5 | −0.988031624093 |
cos(60) | 0.5 | −0.952412980415 |
50tan(35) | 35.0103769105 | 23.6907360207 |
En modo RAD, sin(30) es el seno de 30 radianes, unas 4.77 vueltas, así que la respuesta no tiene nada que ver. Si un resultado sale negativo sin esperarlo o simplemente raro, revisa el indicador de modo antes de dudar de la fórmula.
La última fila es un problema real: un edificio visto a 50 m de distancia con un ángulo de elevación de 35° mide 50 tan 35° ≈ 35.01 m. El modo RAD da 23.69 m, que parece razonable y por eso pasa desapercibido. Dos costumbres lo evitan:
- Fija el modo antes de empezar.
- Añade
°a los ángulos dados en grados.
4. El sufijo °: grados en cualquier modo
Añadir ° a un número lo marca como grados y lo convierte a la unidad de ángulo actual. Así, incluso en modo RAD, sin(30°) vale 0.5. Esto te permite manejar algún valor suelto en grados dentro de un problema de física que va casi todo en radianes, sin cambiar de modo.
En sentido contrario, para usar un valor en radianes en modo DEG, envuélvelo con deg(). Ejemplo en modo DEG: sin(deg(π/6)) = 0.5.
En los modos DEG y GRAD, las funciones trigonométricas reducen primero el argumento exactamente módulo 360° (400 gon) y devuelven valores exactos en los múltiplos de 90°. Por eso sin(180) es 0, cos(90) es 0 y tan(90) no está definida y da error.
5. Unidades de las funciones trigonométricas inversas
asin, acos y atan devuelven el resultado en la unidad de ángulo actual.
| Entrada | DEG | RAD | GRAD |
|---|---|---|---|
asin(0.5) | 30 | 0.523598775598 | 33.3333333333 |
atan(1) | 45 | 0.785398163397 | 50 |
Las funciones inversas solo devuelven valores en un intervalo fijo: asin y atan dan de −90° a 90°, y acos de 0° a 180°. Por eso la dirección del punto (−1, −1) calculada como atan((-1)/(-1)) sale 45°, aunque el punto está en realidad en el tercer cuadrante, a −135° (o 225°). Para obtener direcciones a partir de coordenadas, usa atan2(y, x), que distingue el cuadrante: atan2(-1, -1) = −135 (DEG).
Las entradas fuera del intervalo de −1 a 1, como en asin(2), dan error matemático. Cuidado con valores medidos como 1.0000001 que superan 1 por el redondeo.
6. Cuándo usar radianes
Cálculo
La derivada de sin x es cos x solo cuando x está en radianes; en grados aparece un factor π/180. La aproximación para ángulos pequeños sin x ≈ x también presupone radianes: sin(0.1) (RAD) = 0.0998334166, solo un 0.17 % por debajo de 0.1. Las series de Taylor, las integrales habituales y el análisis de Fourier dan por hecho los radianes.
Física: velocidad angular y movimiento circular
La velocidad angular ω se mide en rad/s. Para un eje que gira a 1500 rpm:
1500×2π/60→ 157.079632679 (rad/s, = 50π)- Velocidad lineal a 0.2 m del eje:
Ans×0.2→ 31.4159265359 (m/s)
La fórmula v = rω funciona sin ningún factor de conversión precisamente porque ω está en radianes. Las oscilaciones (x = A sin ωt) y los circuitos de corriente alterna (ángulos de fase) también se calculan en radianes. Como ωt ya está en radianes, la calculadora debe estar en modo RAD.
Longitud de arco
Para un arco de radio 5 m y ángulo central de 72°, s = rθ necesita θ en radianes: 5×rad(72) → 6.28318530718 (m, = 2π). Meter directamente los grados y obtener 5×72 = 360 es un despiste frecuente.
7. Ejemplo: pendiente de una carretera (%) y ángulo
Una señal que indica «pendiente del 10 %» no da un ángulo. Significa que la carretera sube 10 m por cada 100 m en horizontal. Para convertirla en ángulo, usa la arcotangente: en modo DEG, atan(0.1) → 5.7105931375°. Al revés, una pendiente de 3° equivale a 100tan(3) → 5.24077792830 %. Las pendientes dadas como razón, como una rampa 1:12, se tratan igual: atan(1/12) → 4.76364169072°. En modo RAD, atan(0.1) devuelve 0.0996686524912; si la respuesta sale sospechosamente cerca de 0.1, sospecha del modo.
8. Comprobación del modo en diez segundos
Si no has visto el indicador, calcula sin(90). DEG da exactamente 1, RAD da 0.893996663601 y GRAD da 0.987688340595. Los resultados son tan distintos que sirven como comprobación rápida en pleno examen.
9. Resumen
- Si el enunciado lleva el símbolo °, usa DEG; si aparecen π, rad/s o ωt, usa RAD.
- Si dudas, pon la unidad directamente, como en
30°. - Las funciones inversas devuelven el resultado en la unidad actual; usa
atan2cuando importe el cuadrante. - Preguntarte «¿de verdad este seno debería ser negativo?» es la comprobación más fiable de todas.