Die Avogadro-Zahl ist 602.214.076.000.000.000.000.000 und die Elementarladung 0,0000000000000000001602176634 C. So ausgeschrieben verzählt man sich leicht bei den Nullen. Naturwissenschaft und Technik trennen deshalb die Größenordnung einer Zahl als Zehnerpotenz ab. Diese Anleitung behandelt wissenschaftliche und technische Schreibweise, SI-Präfixe, die Eingabe von Exponenten im Rechner und die Regeln für gültige Ziffern.
1. Wissenschaftliche Schreibweise (SCI)
Man schreibt die Zahl als a × 10ⁿ mit 1 ≤ |a| < 10.
- 6,02214076 × 10²³ (Avogadro-Zahl)
- 1,602176634 × 10⁻¹⁹ C (Elementarladung)
- 0,00047 = 4,7 × 10⁻⁴
Zwei Vorteile: Die Größenordnung (n) ist auf einen Blick erkennbar, und die Zahl der gültigen Ziffern (die Stellen von a) ist eindeutig.
2. Technische Schreibweise (ENG)
Man beschränkt den Exponenten auf Vielfache von 3 und hält 1 ≤ |a| < 1000.
- 0,000047 → 47 × 10⁻⁶ (= 47 μ)
- 123456789 → 123,456789 × 10⁶ (= 123,456789 M)
- 3386,28 → 3,38628 × 10³ (= 3,38628 k)
Mit Exponenten in Dreierschritten lässt sich das SI-Präfix direkt ablesen: 47×10⁻⁶ F sind 47 μF und 3,38628×10³ Ω sind 3,38628 kΩ. Deshalb bevorzugt man in der Schaltungstechnik die technische Schreibweise.
3. Tabelle der SI-Präfixe
| Präfix | Symbol | Zehnerpotenz | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Tera | T | 10¹² | 1-TB-Festplatte |
| Giga | G | 10⁹ | 2,4 GHz |
| Mega | M | 10⁶ | 1 MΩ |
| Kilo | k | 10³ | 4,7 kΩ |
| (keins) | 10⁰ | ||
| Milli | m | 10⁻³ | 20 mA |
| Mikro | μ | 10⁻⁶ | 47 μF |
| Nano | n | 10⁻⁹ | 100 nF |
| Piko | p | 10⁻¹² | 22 pF |
| Femto | f | 10⁻¹⁵ | 1-fs-Laserpuls |
Kilo ist ein kleines k und Mega ein großes M. m (Milli) und M (Mega) unterscheiden sich um den Faktor 10⁹ – Groß- und Kleinschreibung ist also wichtig.
4. Exponenten eingeben: E-Schreibweise
In SciKey bedeutet E (oder e) gefolgt von einer ganzen Zahl, direkt hinter eine Zahl geschrieben, × 10ⁿ.
6.02E23= 6,02 × 10²³1.6e-19= 1,6 × 10⁻¹⁹47E-6= 0,000047
6.02E23 hat denselben Wert wie 6.02×10^23, doch die E-Schreibweise wird als eine einzige Zahl behandelt. So bedeutet 1/6.02E23 korrekt 1/(6,02×10²³), während 1/6.02×10^23 von links nach rechts als (1/6,02)×10²³ = 1,66×10²² ausgewertet wird, da Multiplikation und Division dieselbe Rangfolge haben. Gewöhnen Sie sich an, Exponenten mit E einzugeben.
Ein Haken: Folgt keine ganze Zahl, wie bei 2e, bedeutet es 2 × e (Eulersche Zahl, 2,71828…) = 5,43656365692. Für die E-Schreibweise schreiben Sie die Ziffern immer hinter das E.
5. Rechenbeispiele
Beispiel 1: Faraday-Konstante prüfen. F = N_A × e. NA×qe → 96485,3321233 (C/mol), in SCI 9,64853321233×10⁴.
Beispiel 2: kapazitiver Blindwiderstand. Bei 1 kHz und 47 nF gilt X = 1/(2πfC):
1/(2π×1E3×47E-9) → 3386,27538493 Ω
In ENG sind das 3,38627538493×10³, also etwa 3,39 kΩ. Beachten Sie die Klammern um den ganzen Nenner. 1/2π×1E3×47E-9 wird von links nach rechts ausgewertet und ergibt etwas völlig anderes (7,38×10⁻⁵).
Beispiel 3: Anzeigeformat wechseln. Für das Ergebnis 0,000000512:
- NORM: 0,000000512 (mindestens 1e−9 und kleiner als 1e12, also normale Schreibweise)
- SCI: 5,12 × 10⁻⁷
- ENG: 512 × 10⁻⁹ (= 512 n)
Beispiel 4: ein Lichtjahr in Metern. Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem julianischen Jahr (365,25 Tage) zurücklegt: c0×365.25×86400 → 9,46073047258×10¹⁵ m. Da der Wert größer als 10¹² ist, zeigt auch NORM ihn in wissenschaftlicher Form. Der Exponent 15 ist bereits ein Vielfaches von 3, daher sieht ENG gleich aus; mit Präfix sind das etwa 9,46 Pm (Petameter).
Beispiel 5: Moleküle in 9 g Wasser. Mit einer molaren Masse von Wasser von 18,015 g/mol ergibt 9/18.015×NA → 3,00856324396×10²³ Moleküle. Multiplikation und Division laufen von links nach rechts, daher ist das wie gewünscht (9/18,015)×N_A.
6. Gültige Ziffern (signifikante Stellen)
Die Ziffern eines Messwerts zeigen, wie genau gemessen wurde. 2,50 cm wurde auf 0,01 cm genau gemessen, 2,5 cm nur auf 0,1 cm.
Welche Ziffern zählen
- Alle von null verschiedenen Ziffern zählen: 123 → 3
- Nullen zwischen anderen Ziffern zählen: 1,005 → 4
- Führende Nullen zählen nicht: 0,0047 → 2
- Nullen am Ende nach dem Komma zählen: 2,50 → 3
- Nullen am Ende einer ganzen Zahl ohne Komma sind mehrdeutig: 1200 → 2 bis 4. Die wissenschaftliche Schreibweise beseitigt den Zweifel: 1,2 × 10³ (2) oder 1,20 × 10³ (3).
Stellen im Ergebnis
- Multiplikation und Division: nach dem Wert mit den wenigsten gültigen Ziffern richten. 2,50 × 3,1 = 7,75 → 2 gültige Ziffern → 7,8
- Addition und Subtraktion: nach dem Wert mit den wenigsten Nachkommastellen richten. 12,0 + 0,345 = 12,345 → eine Nachkommastelle → 12,3
Einmal runden, am Ende
Rundet man in jedem Schritt, summieren sich die Fehler. Bewahren Sie Zwischenwerte in Ans oder gespeicherten Variablen auf und runden Sie nur das Endergebnis. round(x, n) in SciKey rundet auf n Nachkommastellen, z. B. round(3.14159, 2) = 3,14.
7. Unterschied zur Stelleneinstellung des Rechners
Die Einstellung der Anzeigestellen in SciKey (6 bis 15, Standard 12) steuert nur, wie viele Ziffern auf dem Bildschirm erscheinen; sie wendet keine Regeln für gültige Ziffern an. Berechnen Sie 2,50 × 3,1, zeigt der Rechner 7,75. Die Entscheidung, 7,8 anzugeben, liegt bei Ihnen. Da die Einstellung mindestens 6 Stellen umfasst und jede Aufgabe eine andere Genauigkeit braucht, lassen Sie sie großzügig und runden Sie das Endergebnis selbst.
8. Häufige Fehler
10E5als 10⁵ lesen.10E5ist 10 × 10⁵ = 10⁶; 10⁵ ist1E5.×10^nohne Klammern an einen Nenner anhängen. Verwenden Sie die E-Schreibweise oder setzen Sie Klammern.- μ (10⁻⁶) und m (10⁻³) verwechseln – ein Faktor 1.000.
- Alle 12 angezeigten Stellen ins Ergebnis übernehmen. Dreistellige Messwerte ergeben ungefähr dreistellige Ergebnisse.