Derselbe Ausdruck kann auf verschiedenen Rechnern verschiedene Ergebnisse liefern. Fast immer liegt das daran, wie jeder Rechner die Operatorrangfolge festlegt. Diese Anleitung stellt die vollständige Rangfolgetabelle von SciKey vor und betrachtet drei Ausdrücke genauer, über die regelmäßig gestritten wird: -2^2, 2^3^2 und 6÷2(1+2).
1. Rangfolge in SciKey (höchste zuerst)
| Stufe | Operation | Assoziativität | Beispiel |
|---|---|---|---|
| 1 | Klammern, Funktionsaufrufe | (1+2), sin(30) | |
| 2 | Nachgestellte ! % ° | Von links nach rechts | 5! = 120, 50% = 0,5 |
| 3 | Potenz ^ | Von rechts nach links | 2^3^2 = 512 |
| 4 | Vorzeichen - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | ×, ÷, mod, implizite Multiplikation | Von links nach rechts | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | +, − | Von links nach rechts | 10−4−3 = 3 |
Operatoren derselben Stufe folgen ihrer Assoziativität: 8÷2÷2 ist (8÷2)÷2 = 2 und 10−4−3 ist (10−4)−3 = 3.
2. Warum -2^2 gleich −4 ist
In der Mathematik liest man −2² als −(2²) = −4: Zuerst wird potenziert, dann gilt das Minuszeichen für das Ergebnis. Es ist dieselbe Regel, nach der −x² = −4 ist, wenn x = 2. SciKey ordnet das Vorzeichen unterhalb der Potenz ein, daher ergibt -2^2 den Wert −4. Für (−2)² verwenden Sie Klammern: (-2)^2 = 4.
Ein Vorzeichen im Exponenten ist erlaubt: 2^-3 ist 2⁻³ = 0,125.
Excel rechnet anders
In Microsoft Excel ergibt =-2^2 den Wert 4. Die Microsoft-Dokumentation „Berechnungsoperatoren und Rangfolge in Excel“ führt die Negation (das Minus in −1) in der Rangfolgetabelle vor Prozent (%) und Potenzierung (^), daher berechnet Excel (−2)². Widersprechen sich Tabellenkalkulation und Rechner, sollten Sie dies vermuten. In Excel ergibt =-(2^2) den Wert −4.
Auch Programmiersprachen unterscheiden sich. Python wertet -2**2 als −4 aus (entsprechend der mathematischen Konvention), während JavaScript -2**2 für mehrdeutig hält und ohne Klammern als Syntaxfehler ablehnt.
3. Potenzen von rechts nach links: 2^3^2 = 512
In der Mathematik bedeutet ein Potenzturm wie 2^3^2 den Wert 2^(3²) = 2⁹ = 512, weil der Exponent des Exponenten zuerst ausgewertet wird. SciKey behandelt ^ als rechtsassoziativ, also ist 2^3^2 = 512. Für (2³)² = 64 schreiben Sie (2^3)^2.
Laut Excel-Dokumentation werden Operatoren gleicher Rangfolge von links nach rechts ausgewertet, und die Potenzierung ist keine Ausnahme – dort ergibt =2^3^2 also 64. Auch hier machen Klammern die Absicht überall eindeutig.
4. Der Streit um 6÷2(1+2)
Diese Aufgabe kursiert ständig im Netz, mit Lagern, die auf 9 oder auf 1 beharren.
- Lesart 9: Eine implizite Multiplikation ist einfach eine Multiplikation. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- Lesart 1: 2(1+2) ist eine Einheit wie 2a und kommt deshalb zuerst. 6÷(2×3) = 1.
Die ehrliche Schlussfolgerung lautet nicht, dass eine Seite „falsch“ liegt, sondern dass die Schreibweise mehrdeutig ist. In Fachtexten vermeidet man sie und verwendet stattdessen einen Bruchstrich oder Klammern.
Die Entscheidung von SciKey
SciKey gibt der impliziten Multiplikation dieselbe Rangfolge wie der gewöhnlichen Multiplikation und Division und wertet von links nach rechts aus. Also:
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1,57079632679 (auch als π/2 angezeigt)- Für 1/(2π) tippen Sie
1/(2π)= 0,159154943092
Wir haben uns dafür entschieden, weil eine einzige Regel leichter vorherzusagen ist: Multiplikation und Division werden in der geschriebenen Reihenfolge ausgeführt, ob das Zeichen dasteht oder nicht.
Andere Rechner
Manche Hersteller und Modelle werten eine Multiplikation mit weggelassenem Zeichen vor einem gewöhnlichen × oder ÷ aus, sodass derselbe Ausdruck 1 ergeben kann. Das Verhalten ist modellabhängig; schlagen Sie im Handbuch Ihres Prüfungsrechners nach. Am sichersten ist es, gar nicht erst einen mehrdeutigen Ausdruck einzugeben.
5. Nachgestellte Operatoren und %
!, % und ° wirken nur auf den unmittelbar vorangehenden Wert.
3!2= 3! × 2 = 12 (implizite Multiplikation)2×3!= 12, während(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0,15 = 30100+10%= 100 + 0,1 = 100,1
Achten Sie auf das letzte Beispiel. Manche Tischrechner behandeln 100 + 10 % als „10 % auf 100 aufschlagen“ (= 110), doch das % von SciKey teilt einfach durch 100. Für einen Aufschlag von 10 % tippen Sie 100×(1+10%) = 110.
6. Rangfolge und Vorzeichen von mod
mod steht auf der Stufe der Multiplikation: 2+7 mod 3 ist 2 + (7 mod 3) = 3. Das Ergebnis hat das Vorzeichen des Divisors: -7 mod 3 = 2 und 7 mod -3 = −2. In -7 mod 3 bindet das Minus zuerst an die 7, weil Vorzeichen über der Multiplikationsstufe stehen.
7. Funktionen, Konstanten und Potenzen
Funktionsaufrufe haben die höchste Rangfolge, daher ist sin(30)^2 gleich (sin 30°)² = 0,25 – dasselbe wie sin²30° im Lehrbuch (DEG). Für den Sinus von 30² setzen Sie die Potenz in die Klammer: sin(30^2). Weil SciKey Klammern bei Funktionen verlangt, wird eine mehrdeutige Eingabe wie sin 30^2 nie akzeptiert.
Eine Potenz hinter einer Konstanten bindet stärker als die implizite Multiplikation. 2π^2 ist 2×(π²) = 19,7392088022 und nicht (2π)² = 39,4784176044. Deshalb funktioniert auch die Kugeloberfläche 4πr², eingegeben als 4πx^2, wie beabsichtigt.
8. Mehrdeutigkeit mit Klammern beseitigen
Zuverlässiger als das Auswendiglernen von Regeln ist es, großzügig Klammern zu setzen.
| Absicht | Mehrdeutige Eingabe | Eindeutige Eingabe |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
Die Buchstaben a, b, t, R und C in der Tabelle sind Platzhalter; setzen Sie in SciKey Zahlen oder die Variablen x, y, z ein (beachten Sie, dass R bereits durch die Gaskonstante belegt ist). e^-t/RC in der dritten Zeile wird als (e^−t)/RC ausgewertet. Ist der Exponent ein Ausdruck, setzen Sie ihn in Klammern. Zusätzliche Klammern machen ein Ergebnis nie falsch, fehlende oft schon.
9. Zusammenfassung
- Potenz vor Vorzeichen:
-2^2= −4 (Excel liefert 4) - Potenzen von rechts nach links:
2^3^2= 512 - ×, ÷ und implizite Multiplikation stehen auf einer Stufe, von links nach rechts:
6÷2(1+2)= 9 %teilt durch 100:100+10%= 100,1- Im Zweifel Klammern setzen