Der Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Da 10³ = 1000 ist, gilt log₁₀ 1000 = 3: Er beantwortet die Frage „Wie oft muss ich multiplizieren, um diese Zahl zu erreichen?“ Naturwissenschaft und Technik nutzen Logarithmen, um Größen, die sich über riesige Bereiche erstrecken – etwa Wasserstoffionenkonzentration, Schallintensität und Erdbebenenergie –, auf handliche Zahlen zu verdichten. Diese Anleitung behandelt die Logarithmusfunktionen von SciKey, den Basiswechsel, die Logarithmengesetze und praktische Beispiele.
1. Logarithmusfunktionen in SciKey
| Eingabe | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
log(x) | Zehnerlogarithmus (Basis 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Natürlicher Logarithmus (Basis e ≈ 2,71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Logarithmus von x zur Basis a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Zweierlogarithmus | log2(1024) = 10 |
In log(a, x) steht die Basis vorn – in derselben Reihenfolge wie bei Casio-Rechnern. log(2, 8) ist log₂8 = 3, während log(8, 2) log₈2 = 0,333333333333 (= 1/3) ist. Die LOG-Funktion in Tabellenkalkulationen erwartet LOG(Zahl; Basis), also die umgekehrte Reihenfolge – Vorsicht beim Übertragen von Formeln.
Die Umkehrfunktionen sind 10^x und e^x (oder exp(x)). 10^(log(7)) ergibt 7.
2. Basiswechsel
Jede Basis lässt sich mit einer einzigen Logarithmusfunktion berechnen:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Beispiel: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9,96578428466, dasselbe wie log(2, 1000). Daraus folgt auch, dass 1000 im Binärsystem 10 Bit benötigt (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Setzen Sie jeden Logarithmus in eigene Klammern. ln(1000)/ln(2) ist korrekt; log 1000/log 2 hat keine Funktionsklammern und wird als ungültige Eingabe abgelehnt.
3. Logarithmengesetze
| Gesetz | Formel | Probe |
|---|---|---|
| Produkt | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1,30103 |
| Quotient | log(a/b) = log a − log b | log(0,5) = −0,30103 |
| Potenz | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0,30103 = 3,0103 |
| Logarithmus von 1 | log 1 = 0 | Jede Basis |
| Logarithmus der Basis | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Nützliche Werte für Überschlagsrechnungen: log 2 ≈ 0,30103, log 3 ≈ 0,47712, ln 2 ≈ 0,693147, ln 10 ≈ 2,302585.
4. Beispiel 1: pH-Wert
pH = −log[H⁺], wobei [H⁺] die Wasserstoffionenkonzentration in mol/L ist.
- [H⁺] = 3,2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3,49485002168 - Umgekehrt hat eine Lösung mit pH 3,5 die Konzentration
10^-3.5= 3,16227766017×10⁻⁴ mol/L
Jede Einheit, um die der pH-Wert sinkt, bedeutet zehnmal mehr Wasserstoffionen: pH 3 enthält 100-mal mehr als pH 5.
In -log(...) gilt das Minuszeichen für den ganzen Logarithmus, weil Funktionsaufrufe vor Vorzeichen ausgewertet werden.
5. Beispiel 2: Dezibel
- Leistungsverhältnis: dB = 10 log(P₂/P₁). Eine 200-fache Leistungsverstärkung →
10log(200)= 23,0102999566 dB - Spannungs- oder Schalldruckverhältnis: dB = 20 log(V₂/V₁). Eine 5-fache Spannungsverstärkung →
20log(5)= 13,9794000867 dB - 3 dB entsprechen etwa der doppelten Leistung:
10log(2)= 3,01029995664
Der Faktor 10 für Leistung gegenüber 20 für Amplituden bringt viele durcheinander. Die Leistung ist proportional zum Quadrat der Amplitude, und log(V²) = 2 log V – daher 20.
6. Beispiel 3: Verdopplungszeit beim Zinseszins
Bei 5 % Zinseszins pro Jahr erfüllt die Verdopplungszeit n die Gleichung 1,05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1,05 → ln(2)/ln(1.05) = 14,2066990829 Jahre
log(1.05, 2) liefert dasselbe Ergebnis. Die bekannte 72er-Regel (72 ÷ 5 = 14,4 Jahre) ist eine Näherung dieses Werts.
7. Beispiel 4: Halbwertszeit
Nimmt man für Kohlenstoff-14 eine Halbwertszeit von etwa 5.730 Jahren an, so ist eine Probe, in der noch 30 % des ursprünglichen Kohlenstoff-14 vorhanden sind,
t = Halbwertszeit × ln(verbleibender Anteil) / ln(0,5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952,81285457
also rund 9.950 Jahre alt. ln(0,3) und ln(0,5) sind beide negativ, daher ist der Quotient positiv. Mit derselben Methode berechnet man den Abbau von Arzneimitteln und die Entladung eines Kondensators (e^(−t/RC)).
Kondensatorbeispiel: In einer Schaltung mit RC = 2 s ist die Zeit, bis die Spannung auf 10 % gefallen ist, t = −RC ln(0,1) → -2ln(0.1) = 4,60517018599 s.
8. Beispiel 5: Erdbebenmagnitude und Energie
Jede Stufe der (Momenten-)Magnitude setzt etwa 10^1,5-mal, also rund 32-mal, mehr Energie frei. Für einen Magnitudenunterschied ΔM ist das Energieverhältnis 10^(1,5ΔM).
- Magnitude 6 gegenüber 5:
10^1.5→ 31,6227766017-mal - Magnitude 7 gegenüber 5:
10^(1.5×2)→ 1000-mal
Da der Exponent ein Ausdruck ist, braucht er Klammern: 10^(1.5×2). Die Eingabe 10^1.5×2 ergibt (10^1,5)×2 = 63,2455532034.
9. Beispiel 6: Stellen einer riesigen Zahl zählen
Eine positive ganze Zahl N hat floor(log N) + 1 Stellen. Wie viele Stellen hat 2⁶⁴? floor(64log(2))+1 → 20. Tatsächlich hat 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616 genau 20 Stellen. Mit Logarithmen lassen sich Zahlen abschätzen, die sich direkt nur umständlich berechnen lassen.
10. Fehler im Definitionsbereich
Reelle Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert.
log(0)→ mathematischer Fehler. Wenn x gegen 0 geht, fällt log x unbegrenzt (−∞).ln(-5)→ mathematischer Fehler. Der Logarithmus einer negativen Zahl ist komplex, und SciKey unterstützt keine komplexen Zahlen.- Der Logarithmus einer positiven Zahl kleiner als 1 ist einfach negativ, kein Fehler:
log(0.001)= −3.
Bricht ein Ausdruck mit einem Fehler ab, prüfen Sie, ob der Wert im Logarithmus null oder negativ geworden ist, wie in ln(1-x) mit x = 1,2.
11. Häufige Fehler
- log und ln verwechseln. In manchen Bereichen (reine Mathematik, manche Physiklehrbücher) bezeichnet „log“ den natürlichen Logarithmus. In deutschen Schulbüchern steht lg für den Zehnerlogarithmus. Prüfen Sie, welche Basis Ihre Quelle meint.
- Argumentreihenfolge in log(a, x). In SciKey und bei Casio-Rechnern steht die Basis vorn.
- log(a+b) in log a + log b zerlegen. Logarithmen verwandeln Produkte in Summen, aber Summen nicht in etwas Einfacheres. Gültig ist log(ab) = log a + log b.
- Faktoren bei Dezibel. 10 für Leistung, 20 für Amplituden.