A mesma expressão pode dar resultados diferentes em calculadoras diferentes. Quase sempre, o motivo é como cada uma define a precedência dos operadores. Este guia apresenta a tabela completa de precedência do SciKey e examina de perto três expressões que vivem gerando discussão: -2^2, 2^3^2 e 6÷2(1+2).
1. Precedência no SciKey (da maior para a menor)
| Nível | Operação | Associatividade | Exemplo |
|---|---|---|---|
| 1 | Parênteses, chamadas de função | (1+2), sin(30) | |
| 2 | Pós-fixos ! % ° | Da esquerda para a direita | 5! = 120, 50% = 0.5 |
| 3 | Potência ^ | Da direita para a esquerda | 2^3^2 = 512 |
| 4 | Unários - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | ×, ÷, mod, multiplicação implícita | Da esquerda para a direita | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | +, − | Da esquerda para a direita | 10−4−3 = 3 |
Operadores do mesmo nível seguem sua associatividade: 8÷2÷2 é (8÷2)÷2 = 2 e 10−4−3 é (10−4)−3 = 3.
2. Por que -2^2 é −4
Na matemática, −2² é lido como −(2²) = −4: a potência vem primeiro e o sinal de menos se aplica ao resultado. É a mesma regra que faz −x² = −4 quando x = 2. O SciKey coloca o menos unário abaixo da potência, então -2^2 devolve −4. Para (−2)², use parênteses: (-2)^2 = 4.
Um sinal no expoente é permitido: 2^-3 é 2⁻³ = 0.125.
O Excel é diferente
No Microsoft Excel, =-2^2 devolve 4. A documentação da Microsoft, “Operadores de cálculo e precedência no Excel”, coloca a negação (o menos de −1) acima da porcentagem (%) e da exponenciação (^) na tabela de precedência, então o Excel calcula (−2)². Se uma planilha e uma calculadora discordarem, suspeite disso. No Excel, =-(2^2) dá −4.
Linguagens de programação também variam. O Python calcula -2**2 como −4 (seguindo a convenção matemática), enquanto o JavaScript considera -2**2 ambíguo e o rejeita como erro de sintaxe se você não acrescentar parênteses.
3. Potências vão da direita para a esquerda: 2^3^2 = 512
Na matemática, uma torre como 2^3^2 significa 2^(3²) = 2⁹ = 512, porque o expoente do expoente é calculado primeiro. O SciKey trata ^ como associativo à direita, então 2^3^2 = 512. Para (2³)² = 64, escreva (2^3)^2.
A documentação do Excel diz que operadores de mesma precedência são calculados da esquerda para a direita, e a exponenciação não é exceção, então lá =2^3^2 dá 64. De novo, os parênteses deixam a intenção clara em qualquer ferramenta.
4. A polêmica de 6÷2(1+2)
Essa expressão circula na internet o tempo todo, com torcidas que defendem 9 ou 1.
- Leitura como 9: uma multiplicação implícita é só uma multiplicação. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- Leitura como 1: 2(1+2) é uma unidade só, como 2a, então vem primeiro. 6÷(2×3) = 1.
A conclusão honesta não é que um lado esteja “errado”, e sim que a notação é ambígua. Textos profissionais a evitam e usam traço de fração ou parênteses.
A escolha do SciKey
O SciKey dá à multiplicação implícita a mesma precedência da multiplicação e da divisão comuns e calcula da esquerda para a direita. Portanto:
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1.57079632679 (também aparece como π/2)- Para 1/(2π), digite
1/(2π)= 0.159154943092
Escolhemos isso porque uma regra única é mais fácil de prever: multiplicação e divisão seguem a ordem em que foram escritas, com o sinal aparecendo ou não.
Outras calculadoras
Alguns fabricantes e modelos são projetados para calcular uma multiplicação com sinal omitido antes de um × ou ÷ comum, então a mesma expressão pode dar 1. O comportamento varia conforme o modelo, por isso consulte o manual da calculadora da sua prova. O mais seguro é nunca digitar uma expressão ambígua.
5. Operadores pós-fixos e %
!, % e ° valem só para o valor imediatamente antes deles.
3!2= 3! × 2 = 12 (multiplicação implícita)2×3!= 12, enquanto(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0.15 = 30100+10%= 100 + 0.1 = 100.1
Atenção ao último. Algumas calculadoras de mesa tratam 100 + 10 % como “somar 10% a 100” (= 110), mas o % do SciKey simplesmente divide por 100. Para um acréscimo de 10%, digite 100×(1+10%) = 110.
6. Precedência e sinal do mod
mod fica no nível da multiplicação: 2+7 mod 3 é 2 + (7 mod 3) = 3. O resultado tem o sinal do divisor: -7 mod 3 = 2 e 7 mod -3 = −2. Em -7 mod 3, o menos unário se liga primeiro ao 7, porque os sinais unários ficam acima do nível da multiplicação.
7. Funções, constantes e potências
Chamadas de função têm a maior precedência, então sin(30)^2 é (sin 30°)² = 0.25, o mesmo que sin²30° nos livros (DEG). Para o seno de 30², coloque dentro: sin(30^2). Como o SciKey exige parênteses nas funções, uma entrada ambígua como sin 30^2 nunca é aceita.
Uma potência depois de uma constante se liga mais forte que a multiplicação implícita. 2π^2 é 2×(π²) = 19.7392088022, e não (2π)² = 39.4784176044. É por isso também que a área da superfície de uma esfera, 4πr², digitada como 4πx^2, funciona como esperado.
8. Elimine a ambiguidade com parênteses
Mais confiável do que decorar regras é usar parênteses sem economia.
| Intenção | Entrada ambígua | Entrada clara |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
As letras a, b, t, R e C da tabela são apenas marcadores; no SciKey, substitua por números ou pelas variáveis x, y, z (note que R já é a constante dos gases). O e^-t/RC da terceira linha é calculado como (e^−t)/RC. Sempre que o expoente for uma expressão, coloque-o entre parênteses. Parênteses a mais nunca estragam uma resposta; parênteses a menos muitas vezes estragam.
9. Resumo
- Potência antes do menos unário:
-2^2= −4 (o Excel dá 4) - Potências da direita para a esquerda:
2^3^2= 512 - ×, ÷ e multiplicação implícita no mesmo nível, da esquerda para a direita:
6÷2(1+2)= 9 %divide por 100:100+10%= 100.1- Na dúvida, acrescente parênteses