Um logaritmo desfaz uma potência. Como 10³ = 1000, log₁₀ 1000 = 3: ele responde à pergunta “quantas vezes preciso multiplicar para chegar a este número?”. Ciência e engenharia usam logaritmos para comprimir em números manejáveis grandezas que variam em faixas enormes, como a concentração de íons de hidrogênio, a intensidade sonora e a energia de terremotos. Este guia cobre as funções logarítmicas do SciKey, a mudança de base, as propriedades dos logaritmos e exemplos práticos.
1. Funções logarítmicas no SciKey
| Entrada | Significado | Exemplo |
|---|---|---|
log(x) | Logaritmo decimal (base 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Logaritmo natural (base e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Logaritmo de x na base a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Logaritmo na base 2 | log2(1024) = 10 |
Em log(a, x) a base vem primeiro, na mesma ordem das calculadoras Casio. log(2, 8) é log₂8 = 3, enquanto log(8, 2) é log₈2 = 0.333333333333 (= 1/3). A função LOG das planilhas usa LOG(número, base), a ordem inversa, então cuidado ao copiar fórmulas de um lugar para outro.
As inversas são 10^x e e^x (ou exp(x)). 10^(log(7)) devolve 7.
2. Mudança de base
Qualquer base pode ser calculada com uma única função logarítmica:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Exemplo: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466, o mesmo que log(2, 1000). De quebra, isso mostra que 1000 precisa de 10 bits em binário (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Coloque cada logaritmo entre seus próprios parênteses. ln(1000)/ln(2) está certo; log 1000/log 2 não tem os parênteses de função e é rejeitado como entrada inválida.
3. Propriedades dos logaritmos
| Propriedade | Fórmula | Conferência |
|---|---|---|
| Produto | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| Quociente | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| Potência | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| Logaritmo de 1 | log 1 = 0 | Em qualquer base |
| Logaritmo da base | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Valores úteis para estimativas de cabeça: log 2 ≈ 0.30103, log 3 ≈ 0.47712, ln 2 ≈ 0.693147, ln 10 ≈ 2.302585.
4. Exemplo 1: pH
pH = −log[H⁺], em que [H⁺] é a concentração de íons de hidrogênio em mol/L.
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - No sentido inverso, uma solução de pH 3.5 tem
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴ mol/L
Cada unidade a menos no pH significa dez vezes mais íons de hidrogênio: pH 3 tem 100 vezes mais que pH 5.
Em -log(...) o sinal de menos vale para o logaritmo inteiro, porque as chamadas de função são calculadas antes dos sinais unários.
5. Exemplo 2: decibéis
- Razão de potências: dB = 10 log(P₂/P₁). Um ganho de potência de 200× →
10log(200)= 23.0102999566 dB - Razão de tensões ou de pressões sonoras: dB = 20 log(V₂/V₁). Um ganho de tensão de 5× →
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB equivalem mais ou menos ao dobro da potência:
10log(2)= 3.01029995664
O fator 10 para potência contra 20 para amplitude confunde muita gente. A potência é proporcional ao quadrado da amplitude, e log(V²) = 2 log V; daí o 20.
6. Exemplo 3: tempo para dobrar com juros compostos
Com juros compostos de 5% ao ano, o tempo para dobrar n satisfaz 1.05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1.05 → ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 anos
log(1.05, 2) dá o mesmo resultado. A conhecida regra do 72 (72 ÷ 5 = 14.4 anos) é uma aproximação desse valor.
7. Exemplo 4: meia-vida
Considerando a meia-vida do carbono-14 como cerca de 5.730 anos, uma amostra com 30% do carbono-14 original tem idade
t = meia-vida × ln(fração restante) / ln(0.5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
ou seja, uns 9.950 anos. Tanto ln(0.3) quanto ln(0.5) são negativos, então a razão é positiva. O mesmo método serve para a eliminação de medicamentos e a descarga de capacitores (e^(−t/RC)).
Exemplo com capacitor: num circuito com RC = 2 s, o tempo para a tensão cair a 10% é t = −RC ln(0.1) → -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. Exemplo 5: magnitude e energia de terremotos
Cada ponto de magnitude (de momento) libera cerca de 10^1.5, ou seja, umas 32 vezes mais energia. Para uma diferença de magnitude ΔM, a razão de energias é 10^(1.5ΔM).
- Magnitude 6 contra 5:
10^1.5→ 31.6227766017 vezes - Magnitude 7 contra 5:
10^(1.5×2)→ 1000 vezes
Como o expoente é uma expressão, ele precisa de parênteses: 10^(1.5×2). Digitar 10^1.5×2 dá (10^1.5)×2 = 63.2455532034.
9. Exemplo 6: contando os dígitos de um número enorme
Um inteiro positivo N tem floor(log N) + 1 dígitos. Quantos dígitos tem 2⁶⁴? floor(64log(2))+1 → 20. De fato, 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616 tem 20 dígitos. Os logaritmos permitem dimensionar números difíceis de calcular diretamente.
10. Erros de domínio
Logaritmos reais só estão definidos para números positivos.
log(0)→ erro matemático. Quando x se aproxima de 0, log x decresce sem limite (−∞).ln(-5)→ erro matemático. O logaritmo de um número negativo é complexo, e o SciKey não suporta números complexos.- O logaritmo de um número positivo menor que 1 é simplesmente negativo, não um erro:
log(0.001)= −3.
Se uma expressão der erro, verifique se o valor dentro de algum logaritmo virou zero ou negativo, como em ln(1-x) com x = 1.2.
11. Erros comuns
- Confundir log e ln. Em algumas áreas (matemática pura, alguns textos de física), “log” significa logaritmo natural. Confira qual base a sua fonte usa.
- Ordem dos argumentos em log(a, x). No SciKey e nas calculadoras Casio, a base vem primeiro.
- Separar log(a+b) em log a + log b. Logaritmos transformam produtos em somas, não simplificam somas. A regra válida é log(ab) = log a + log b.
- Fatores em decibéis. 10 para potência, 20 para amplitude.