Ekspresi yang sama bisa memberi hasil berbeda di kalkulator yang berbeda. Hampir selalu, penyebabnya adalah cara masing-masing kalkulator mendefinisikan urutan operasi (prioritas operator). Panduan ini memaparkan tabel prioritas lengkap SciKey dan membahas secara mendalam tiga ekspresi yang kerap memicu perdebatan: -2^2, 2^3^2, dan 6÷2(1+2).
1. Urutan operasi di SciKey (tertinggi lebih dulu)
| Tingkat | Operasi | Asosiativitas | Contoh |
|---|---|---|---|
| 1 | Kurung, pemanggilan fungsi | (1+2), sin(30) | |
| 2 | Postfiks ! % ° | Kiri ke kanan | 5! = 120, 50% = 0.5 |
| 3 | Pangkat ^ | Kanan ke kiri | 2^3^2 = 512 |
| 4 | Unary - + | -2^2 = −4 | |
| 5 | ×, ÷, mod, perkalian implisit | Kiri ke kanan | 6÷2(1+2) = 9 |
| 6 | +, − | Kiri ke kanan | 10−4−3 = 3 |
Operator pada tingkat yang sama mengikuti asosiativitasnya: 8÷2÷2 adalah (8÷2)÷2 = 2 dan 10−4−3 adalah (10−4)−3 = 3.
2. Mengapa -2^2 bernilai −4
Dalam matematika, −2² dibaca sebagai −(2²) = −4: pangkat dihitung lebih dulu dan tanda minus berlaku pada hasilnya. Aturan yang sama membuat −x² = −4 ketika x = 2. SciKey menempatkan minus unary di bawah pemangkatan, sehingga -2^2 menghasilkan −4. Untuk (−2)², gunakan kurung: (-2)^2 = 4.
Tanda di dalam eksponen diperbolehkan: 2^-3 adalah 2⁻³ = 0.125.
Excel berbeda
Di Microsoft Excel, =-2^2 menghasilkan 4. Dokumentasi Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", menempatkan negasi (minus pada −1) di atas persen (%) dan pemangkatan (^) dalam tabel prioritasnya, sehingga Excel menghitung (−2)². Jika spreadsheet dan kalkulator memberi hasil berbeda, curigai hal ini. Di Excel, =-(2^2) menghasilkan −4.
Bahasa pemrograman juga beragam. Python menghitung -2**2 sebagai −4 (sesuai konvensi matematika), sedangkan JavaScript menganggap -2**2 ambigu dan menolaknya sebagai kesalahan sintaks kecuali Anda menambahkan kurung.
3. Pangkat berjalan dari kanan ke kiri: 2^3^2 = 512
Dalam matematika, pangkat bertingkat seperti 2^3^2 berarti 2^(3²) = 2⁹ = 512, karena pangkat dari pangkat dihitung lebih dulu. SciKey memperlakukan ^ sebagai asosiatif kanan, sehingga 2^3^2 = 512. Untuk (2³)² = 64, tulis (2^3)^2.
Dokumentasi Excel menyebutkan bahwa operator dengan prioritas yang sama dihitung dari kiri ke kanan, dan pemangkatan pun tidak dikecualikan, sehingga =2^3^2 menghasilkan 64 di sana. Sekali lagi, kurung membuat maksud Anda jelas di mana pun.
4. Perdebatan 6÷2(1+2)
Soal ini terus beredar di internet, dengan kubu yang bersikeras pada 9 atau 1.
- Dibaca sebagai 9: perkalian implisit hanyalah perkalian biasa. 6÷2×3 = (6÷2)×3 = 9.
- Dibaca sebagai 1: 2(1+2) adalah satu kesatuan, seperti 2a, sehingga dihitung lebih dulu. 6÷(2×3) = 1.
Kesimpulan yang jujur bukanlah bahwa satu pihak "salah", melainkan bahwa notasinya ambigu. Tulisan profesional menghindarinya dan memakai garis pecahan atau kurung.
Pilihan SciKey
SciKey memberi perkalian implisit prioritas yang sama dengan perkalian dan pembagian biasa dan menghitung dari kiri ke kanan. Jadi:
6÷2(1+2)= 91/2π= (1/2)×π = 1.57079632679 (juga ditampilkan sebagai π/2)- Untuk 1/(2π), ketik
1/(2π)= 0.159154943092
Kami memilih ini karena satu aturan tunggal lebih mudah diprediksi: perkalian dan pembagian dihitung sesuai urutan penulisan, baik tandanya ditulis maupun tidak.
Kalkulator lain
Sebagian produsen dan model dirancang untuk menghitung perkalian yang tandanya dihilangkan sebelum × atau ÷ biasa, sehingga ekspresi yang sama bisa menghasilkan 1. Perilakunya berbeda-beda per model, jadi periksa buku panduan kalkulator ujian Anda. Cara paling aman adalah tidak pernah mengetik ekspresi yang ambigu sejak awal.
5. Operator postfiks dan %
!, %, dan ° hanya berlaku pada nilai yang tepat berada di depannya.
3!2= 3! × 2 = 12 (perkalian implisit)2×3!= 12, sedangkan(2×3)!= 720200×15%= 200 × 0.15 = 30100+10%= 100 + 0.1 = 100.1
Perhatikan yang terakhir. Sebagian kalkulator meja memperlakukan 100 + 10 % sebagai "tambahkan 10% ke 100" (= 110), tetapi % di SciKey hanya membagi dengan 100. Untuk kenaikan 10%, ketik 100×(1+10%) = 110.
6. Prioritas dan tanda mod
mod berada di tingkat perkalian: 2+7 mod 3 adalah 2 + (7 mod 3) = 3. Hasilnya mengikuti tanda pembagi: -7 mod 3 = 2 dan 7 mod -3 = −2. Pada -7 mod 3, minus unary terikat pada 7 lebih dulu, karena tanda unary berada di atas tingkat perkalian.
7. Fungsi, konstanta, dan pangkat
Pemanggilan fungsi memiliki prioritas tertinggi, sehingga sin(30)^2 adalah (sin 30°)² = 0.25, sama dengan sin²30° di buku pelajaran (DEG). Untuk sinus dari 30², letakkan di dalam kurung: sin(30^2). Karena SciKey mewajibkan kurung pada fungsi, masukan ambigu seperti sin 30^2 tidak pernah diterima.
Pangkat setelah konstanta mengikat lebih kuat daripada perkalian implisit. 2π^2 adalah 2×(π²) = 19.7392088022, bukan (2π)² = 39.4784176044. Itulah sebabnya luas permukaan bola, 4πr², yang diketik sebagai 4πx^2 bekerja sesuai maksud.
8. Hilangkan ambiguitas dengan kurung
Lebih andal daripada menghafal aturan adalah memakai kurung dengan murah hati.
| Maksud | Masukan ambigu | Masukan yang jelas |
|---|---|---|
| a/(bc) | a/bc | a/(b×c) |
| (−x)² | -x^2 | (-x)^2 |
| e^(−t/RC) | e^-t/RC | e^(-t/(R×C)) |
| (a+b)/2 | a+b/2 | (a+b)/2 |
Huruf a, b, t, R, dan C dalam tabel hanyalah contoh; di SciKey, ganti dengan bilangan atau variabel x, y, z (perhatikan bahwa R sudah dipakai untuk konstanta gas). e^-t/RC pada baris ketiga dihitung sebagai (e^−t)/RC. Setiap kali eksponennya berupa ekspresi, beri kurung. Kurung tambahan tidak pernah membuat jawaban salah; kurung yang hilang sering kali membuatnya salah.
9. Ringkasan
- Pangkat sebelum minus unary:
-2^2= −4 (Excel memberi 4) - Pangkat dari kanan ke kiri:
2^3^2= 512 - ×, ÷, dan perkalian implisit setingkat, dari kiri ke kanan:
6÷2(1+2)= 9 %membagi dengan 100:100+10%= 100.1- Jika ragu, tambahkan kurung