Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Karena 10³ = 1000, maka log₁₀ 1000 = 3: logaritma menjawab pertanyaan "berapa kali saya harus mengalikan untuk mencapai bilangan ini?" Sains dan teknik memakai logaritma untuk memampatkan besaran yang rentangnya sangat luas, seperti konsentrasi ion hidrogen, intensitas bunyi, dan energi gempa, menjadi angka yang mudah dikelola. Panduan ini membahas fungsi logaritma di SciKey, perubahan basis, sifat-sifat logaritma, dan contoh praktis.
1. Fungsi logaritma di SciKey
| Masukan | Arti | Contoh |
|---|---|---|
log(x) | Logaritma biasa (basis 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Logaritma natural (basis e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Logaritma x dengan basis a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Logaritma basis 2 | log2(1024) = 10 |
Pada log(a, x) basis ditulis lebih dulu, urutan yang sama dengan kalkulator Casio. log(2, 8) adalah log₂8 = 3, sedangkan log(8, 2) adalah log₈2 = 0.333333333333 (= 1/3). Fungsi LOG di spreadsheet memakai LOG(bilangan, basis), urutan yang terbalik, jadi berhati-hatilah saat menyalin rumus dari satu alat ke alat lain.
Kebalikannya adalah 10^x dan e^x (atau exp(x)). 10^(log(7)) menghasilkan 7.
2. Perubahan basis
Logaritma basis apa pun dapat dihitung dengan satu fungsi logaritma saja:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Contoh: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466, sama dengan log(2, 1000). Hasil ini juga memberi tahu bahwa 1000 memerlukan 10 bit dalam biner (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Letakkan setiap logaritma di dalam kurungnya sendiri. ln(1000)/ln(2) benar; log 1000/log 2 tidak memiliki kurung fungsi dan ditolak sebagai masukan yang tidak sah.
3. Sifat-sifat logaritma
| Sifat | Rumus | Cek |
|---|---|---|
| Perkalian | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| Pembagian | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| Pangkat | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| Logaritma 1 | log 1 = 0 | Basis apa pun |
| Logaritma basisnya sendiri | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Nilai yang berguna untuk perkiraan cepat: log 2 ≈ 0.30103, log 3 ≈ 0.47712, ln 2 ≈ 0.693147, ln 10 ≈ 2.302585.
4. Contoh 1: pH
pH = −log[H⁺], dengan [H⁺] adalah konsentrasi ion hidrogen dalam mol/L.
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - Sebaliknya, larutan ber-pH 3.5 memiliki
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴ mol/L
Setiap penurunan pH sebesar satu berarti ion hidrogen sepuluh kali lebih banyak: pH 3 memiliki 100 kali lebih banyak daripada pH 5.
Pada -log(...) tanda minus berlaku untuk seluruh logaritma, karena pemanggilan fungsi dihitung sebelum tanda unary.
5. Contoh 2: desibel
- Rasio daya: dB = 10 log(P₂/P₁). Penguatan daya 200× →
10log(200)= 23.0102999566 dB - Rasio tegangan atau tekanan bunyi: dB = 20 log(V₂/V₁). Penguatan tegangan 5× →
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB kira-kira sama dengan dua kali lipat daya:
10log(2)= 3.01029995664
Faktor 10 untuk daya dan 20 untuk amplitudo sering membingungkan. Daya sebanding dengan kuadrat amplitudo, dan log(V²) = 2 log V, itulah sebabnya faktornya 20.
6. Contoh 3: waktu penggandaan dengan bunga majemuk
Dengan bunga majemuk 5% per tahun, waktu penggandaan n memenuhi 1.05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1.05 → ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 tahun
log(1.05, 2) memberi hasil yang sama. Aturan 72 yang terkenal (72 ÷ 5 = 14.4 tahun) adalah aproksimasi dari nilai ini.
7. Contoh 4: waktu paruh
Dengan waktu paruh karbon-14 sekitar 5.730 tahun, sampel yang masih memiliki 30% karbon-14 aslinya berumur
t = waktu paruh × ln(fraksi tersisa) / ln(0.5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
atau sekitar 9.950 tahun. ln(0.3) dan ln(0.5) sama-sama negatif, sehingga rasionya positif. Cara yang sama dipakai untuk eliminasi obat dan pengosongan kapasitor (e^(−t/RC)).
Contoh kapasitor: dalam rangkaian dengan RC = 2 s, waktu agar tegangan turun ke 10% adalah t = −RC ln(0.1) → -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. Contoh 5: magnitudo dan energi gempa
Setiap kenaikan satu magnitudo (momen) melepaskan energi sekitar 10^1.5, atau kira-kira 32 kali lebih besar. Untuk selisih magnitudo ΔM, rasio energinya 10^(1.5ΔM).
- Magnitudo 6 dibanding 5:
10^1.5→ 31.6227766017 kali - Magnitudo 7 dibanding 5:
10^(1.5×2)→ 1000 kali
Karena eksponennya berupa ekspresi, ia memerlukan kurung: 10^(1.5×2). Mengetik 10^1.5×2 menghasilkan (10^1.5)×2 = 63.2455532034.
9. Contoh 6: menghitung jumlah digit bilangan raksasa
Bilangan bulat positif N memiliki floor(log N) + 1 digit. Berapa digit 2⁶⁴? floor(64log(2))+1 → 20. Memang, 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616 memiliki 20 digit. Logaritma membantu Anda memperkirakan besar bilangan yang sulit dihitung secara langsung.
10. Kesalahan domain
Logaritma real hanya terdefinisi untuk bilangan positif.
log(0)→ kesalahan matematika. Saat x mendekati 0, log x turun tanpa batas (−∞).ln(-5)→ kesalahan matematika. Logaritma bilangan negatif adalah bilangan kompleks, dan SciKey tidak mendukung bilangan kompleks.- Logaritma bilangan positif yang kurang dari 1 hanya bernilai negatif, bukan kesalahan:
log(0.001)= −3.
Jika sebuah ekspresi menghasilkan kesalahan, periksa apakah nilai di dalam logaritma sudah menjadi nol atau negatif, seperti ln(1-x) dengan x = 1.2.
11. Kesalahan umum
- Tertukar antara log dan ln. Di beberapa bidang (matematika murni, sebagian buku fisika) "log" berarti logaritma natural. Periksa basis yang dipakai sumber Anda.
- Urutan argumen pada log(a, x). Di SciKey dan kalkulator Casio, basis ditulis lebih dulu.
- Memecah log(a+b) menjadi log a + log b. Logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan, bukan menyederhanakan penjumlahan. Sifat yang benar adalah log(ab) = log a + log b.
- Faktor desibel. 10 untuk daya, 20 untuk amplitudo.