로그는 거듭제곱의 반대 연산이다. 10³ = 1000이므로 log₁₀ 1000 = 3이다. "몇 번 곱해야 이 수가 되는가"를 묻는 셈이다. 공학과 과학에서는 크기 차이가 너무 큰 양(수소 이온 농도, 소리 세기, 지진 에너지)을 다루기 쉬운 숫자로 줄이는 데 로그를 쓴다. 이 글에서는 SciKey의 로그 함수 입력법, 밑 변환, 성질, 그리고 실제 계산 예제를 다룬다.
1. SciKey의 로그 함수
| 입력 | 의미 | 예 |
|---|---|---|
log(x) | 상용로그(밑 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | 자연로그(밑 e ≈ 2.71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | 밑이 a인 로그 logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | 밑이 2인 로그 | log2(1024) = 10 |
log(a, x) 는 밑이 먼저다. 카시오 계산기와 같은 순서다. log(2, 8) 은 log₂8 = 3이고, 순서를 바꾼 log(8, 2) 는 log₈2 = 0.333333333333(= 1/3)이다. 스프레드시트의 LOG 함수는 LOG(수, 밑) 순서라서 반대이므로 옮겨 적을 때 주의하자.
역함수는 10^x, e^x 또는 exp(x) 다. 10^(log(7)) 은 다시 7이 된다.
2. 밑 변환 공식
밑이 무엇이든 한 종류의 로그로 계산할 수 있다.
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
예: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9.96578428466. log(2, 1000) 과 같은 값이다. 1000을 2진수로 쓰려면 10비트가 필요하다는 뜻이기도 하다(2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
분자와 분모를 괄호로 나누는 것을 잊지 말자. ln(1000)/ln(2) 는 괜찮지만 log 1000/log 2 처럼 쓰면 함수 괄호가 없어 입력 자체가 오류다.
3. 로그의 성질
| 성질 | 식 | 확인 예 |
|---|---|---|
| 곱 | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1.30103 |
| 몫 | log(a/b) = log a − log b | log(0.5) = −0.30103 |
| 거듭제곱 | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0.30103 = 3.0103 |
| 1의 로그 | log 1 = 0 | 밑과 무관 |
| 밑의 로그 | logₐa = 1 | ln e = 1 |
암산 어림에 유용한 값: log 2 ≈ 0.30103, log 3 ≈ 0.47712, ln 2 ≈ 0.693147, ln 10 ≈ 2.302585.
4. 예제 1: pH
pH = −log[H⁺] (수소 이온 농도, mol/L).
- [H⁺] = 3.2×10⁻⁴ mol/L →
-log(3.2E-4)= 3.49485002168 - 반대로 pH 3.5인 용액의 농도 →
10^-3.5= 3.16227766017×10⁻⁴
pH가 1 작아지면 농도는 10배가 된다. pH 3인 용액은 pH 5인 용액보다 수소 이온이 100배 많다.
-log(...) 에서 부호는 로그 전체에 걸린다. 함수 호출이 단항 부호보다 먼저 계산되기 때문이다.
5. 예제 2: 데시벨
- 전력비: dB = 10 log(P₂/P₁). 출력이 200배 →
10log(200)= 23.0102999566 dB - 전압·음압비: dB = 20 log(V₂/V₁). 전압이 5배 →
20log(5)= 13.9794000867 dB - 3 dB는 전력 약 2배:
10log(2)= 3.01029995664
전력에는 10, 진폭(전압·전류·음압)에는 20을 곱한다는 점이 헷갈리기 쉽다. 전력은 진폭의 제곱에 비례하므로 log(V²) = 2 log V가 되어 20이 나온다.
6. 예제 3: 복리와 두 배가 되는 기간
연 5% 복리에서 원금이 두 배가 되는 기간 n은 1.05ⁿ = 2를 풀면 된다.
n = ln 2 / ln 1.05 → ln(2)/ln(1.05) = 14.2066990829 (년)
log(1.05, 2) 로 입력해도 같다. 흔히 쓰는 "72의 법칙"(72 ÷ 5 = 14.4년)은 이 값의 어림이다.
7. 예제 4: 반감기
탄소-14의 반감기를 약 5,730년이라 할 때, 원래 양의 30%가 남은 시료의 나이는
t = 반감기 × ln(남은 비율) / ln(0.5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952.81285457
즉 약 9,950년이다. 남은 비율이 1보다 작으므로 ln(0.3)과 ln(0.5)가 둘 다 음수이고, 나눈 결과는 양수가 된다. 같은 원리로 약물 농도 감소, 축전기 방전(e^(−t/RC)) 문제를 풀 수 있다.
축전기 예: RC = 2 s인 회로에서 전압이 처음의 10%로 떨어지는 시간은 t = −RC ln(0.1) → -2ln(0.1) = 4.60517018599 s.
8. 예제 5: 지진 규모와 에너지
지진 규모(모멘트 규모)는 1 커질 때 방출 에너지가 약 10^1.5배, 즉 약 32배가 된다. 규모 차이가 ΔM이면 에너지 비는 10^(1.5ΔM)이다.
- 규모 6과 5:
10^1.5→ 31.6227766017배 - 규모 7과 5:
10^(1.5×2)→ 1000배
지수에 식이 들어가므로 10^(1.5×2) 처럼 괄호로 감싸야 한다. 10^1.5×2 는 (10^1.5)×2 = 63.2455532034가 된다.
9. 예제 6: 큰 수의 자릿수 세기
어떤 양의 정수 N의 자릿수는 floor(log N) + 1이다. 2⁶⁴이 몇 자리인지 구하려면 floor(64log(2))+1 → 20. 실제로 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616은 20자리다. 계산기가 직접 다루기 어려운 거대한 수도 로그로 크기를 가늠할 수 있다.
10. 정의역: 오류가 나는 경우
실수 로그는 양수에서만 정의된다.
log(0)→ 수학 오류. x가 0에 가까워지면 log x는 한없이 작아진다(−∞).ln(-5)→ 수학 오류. 음수의 로그는 복소수이며, SciKey는 복소수를 지원하지 않는다.log(0.001)= −3처럼 1보다 작은 양수의 로그는 음수일 뿐 오류가 아니다.
식에서 오류가 난다면 로그 안의 값이 0이나 음수가 되지 않았는지 확인하자. ln(1-x) 에 x = 1.2가 들어간 경우가 대표적이다.
11. 흔한 실수
- log와 ln 혼동. 교과서의 log가 자연로그를 뜻하는 분야(수학 해석학, 일부 물리 교재)가 있다. 공식의 출처가 어떤 밑을 쓰는지 확인하자.
- log(a, x)의 순서. SciKey와 카시오는 밑이 먼저다.
- log(a+b)를 log a + log b로 쪼갠다. 로그는 덧셈을 곱셈으로 바꿔 주지 않는다. 성립하는 것은 log(ab) = log a + log b다.
- 데시벨 계수 10과 20. 전력은 10, 진폭은 20.