계산기로 삼각함수를 틀리는 가장 흔한 이유는 공식이 아니라 각도 모드다. 같은 sin(30) 이 DEG에서는 0.5, RAD에서는 −0.988이다. 이 글에서는 세 가지 각도 단위의 차이, 변환 방법, SciKey에서 모드와 상관없이 도 단위를 쓰는 방법, 그리고 라디안이 왜 필요한지를 정리한다.
1. 세 가지 각도 단위
| 단위 | 한 바퀴 | 직각 | 주로 쓰는 곳 |
|---|---|---|---|
| 도(DEG) | 360° | 90° | 일상, 측량, 기계 도면, 학교 기하 |
| 라디안(RAD) | 2π ≈ 6.28319 | π/2 ≈ 1.5708 | 미적분, 물리(각속도·진동), 프로그래밍 |
| 그레이드(GRAD, gon) | 400 gon | 100 gon | 일부 유럽 측량 |
라디안은 반지름과 같은 길이의 호가 만드는 중심각이다. 반지름 r인 원에서 호의 길이 s와 중심각 θ(라디안) 사이에는 s = rθ 라는 간단한 관계가 성립한다. 한 바퀴의 호 길이는 2πr이므로 한 바퀴는 2π 라디안이다.
2. 변환 공식
- 라디안 = 도 × π / 180
- 도 = 라디안 × 180 / π
- 1 rad = 57.2957795131°, 1° = 0.0174532925199 rad
- 1 gon = 0.9°, 100 gon = 90°
SciKey에는 변환 함수가 있다. rad(30) = 0.523598775598(= π/6), deg(1) = 57.2957795131.
3. 모드 실수로 틀리는 사례
| 입력 | DEG 모드 | RAD 모드 |
|---|---|---|
sin(30) | 0.5 | −0.988031624093 |
cos(60) | 0.5 | −0.952412980415 |
50tan(35) | 35.0103769105 | 23.6907360207 |
RAD 모드의 sin(30) 은 30 라디안의 사인이다. 30 rad는 약 4.77바퀴이므로 전혀 다른 값이 나온다. 결과가 이상하게 음수이거나 뜻밖의 값이 나오면 공식을 의심하기 전에 화면 위쪽의 모드 표시부터 확인하자.
마지막 줄은 실제 문제다. 건물에서 50 m 떨어진 곳에서 올려본각이 35°일 때 건물 높이는 50 tan 35° ≈ 35.01 m다. RAD 모드로 계산하면 23.69 m가 나오는데, 그럴듯한 크기라서 알아차리기 어렵다. 이런 실수를 막는 방법은 두 가지다.
- 문제를 풀기 전에 모드를 맞춘다.
- 도 단위 각도에는
°를 붙인다.
4. ° 후위 기호: 모드와 무관하게 도로 입력하기
숫자 뒤에 ° 를 붙이면 그 값은 도 단위로 해석되어 현재 각도 단위로 변환된다. 따라서 RAD 모드에서도 sin(30°) 은 0.5다. 라디안 계산이 주가 되는 물리 문제 중간에 도 단위 각도가 섞여 나올 때 모드를 바꾸지 않고 처리할 수 있다.
반대로 DEG 모드에서 라디안 값을 넣고 싶다면 deg() 로 바꿔 넣으면 된다. 예: DEG 모드에서 sin(deg(π/6)) = 0.5.
DEG·GRAD 모드의 삼각함수는 인수를 360°(400 gon)로 정확히 줄인 뒤 90°의 배수이면 정확한 값을 돌려준다. 그래서 sin(180) 은 0, cos(90) 은 0이고, tan(90) 은 정의되지 않으므로 오류가 난다.
5. 역삼각함수의 결과 단위
asin, acos, atan 의 결과는 현재 각도 단위로 나온다.
| 입력 | DEG | RAD | GRAD |
|---|---|---|---|
asin(0.5) | 30 | 0.523598775598 | 33.3333333333 |
atan(1) | 45 | 0.785398163397 | 50 |
역삼각함수는 결과가 정해진 범위로만 나온다. asin과 atan은 −90°~90°, acos는 0°~180°다. 그래서 점 (−1, −1)의 방향각을 atan((-1)/(-1)) 로 구하면 45°가 나오는데, 실제로는 제3사분면의 −135°(또는 225°)다. 좌표로 방향을 구할 때는 사분면을 구분하는 atan2(y, x) 를 쓴다. atan2(-1, -1) = −135 (DEG).
또 asin(2) 처럼 정의역(−1~1)을 벗어나면 수학 오류가 난다. 측정값 반올림 때문에 1.0000001 같은 값이 들어가지 않는지 주의하자.
6. 라디안은 언제 쓰나
미적분
sin x의 도함수가 cos x라는 공식은 x가 라디안일 때만 성립한다. 도 단위로 쓰면 도함수에 π/180이 붙는다. 작은 각 근사 sin x ≈ x도 라디안 기준이다. sin(0.1) (RAD) = 0.0998334166, 0.1과 0.17%밖에 차이 나지 않는다. 테일러 급수, 적분 결과, 푸리에 해석은 모두 라디안을 전제로 한다.
물리: 각속도와 원운동
각속도 ω의 단위는 rad/s다. 1,500 rpm으로 도는 축의 각속도는
1500×2π/60→ 157.079632679 (rad/s, = 50π)- 반지름 0.2 m 지점의 선속도:
Ans×0.2→ 31.4159265359 (m/s)
v = rω 공식이 단위 환산 없이 바로 성립하는 것도 라디안 덕분이다. 진동(x = A sin ωt)과 교류 회로(위상각)도 라디안으로 계산한다. 이런 식에서 ωt는 이미 라디안이므로 계산기도 RAD 모드여야 한다.
호의 길이
반지름 5 m, 중심각 72°인 호의 길이는 s = rθ에서 θ를 라디안으로 바꿔야 한다. 5×rad(72) → 6.28318530718 (m, = 2π). 도를 그대로 넣어 5×72 = 360으로 계산하는 실수가 흔하다.
7. 예제: 경사도(%)와 각도
도로 표지판의 "경사 10%"는 각도가 아니라 수평 100 m에 높이 10 m 오른다는 뜻이다. 각도로 바꾸려면 tan의 역함수를 쓴다. DEG 모드에서 atan(0.1) → 5.7105931375°. 반대로 3° 경사를 퍼센트로 바꾸면 100tan(3) → 5.24077792830 %다. 경사로 기울기를 1:12 같은 비율로 주는 경우도 같은 방법으로 풀린다. atan(1/12) → 4.76364169072°. RAD 모드에서 atan(0.1) 은 0.0996686524912이 나오므로, 결과가 0.1에 가까우면 모드를 의심하자.
8. 모드를 10초 만에 확인하는 방법
모드 표시를 놓쳤다면 sin(90) 을 계산해 보자. DEG 모드면 정확히 1이고, RAD 모드면 0.893996663601, GRAD 모드면 0.987688340595가 나온다. 각도 모드에 따라 결과가 확연히 달라서 시험 중 빠른 확인에 쓰기 좋다.
9. 정리
- 문제에 °가 있으면 DEG, π나 rad/s·ωt가 나오면 RAD.
- 모드가 헷갈리면
30°처럼 단위를 직접 붙인다. - 역삼각함수 결과는 현재 모드 단위로 나오고, 사분면이 중요하면
atan2를 쓴다. - 결과를 보고 "sin 값이 음수가 맞나?" 한 번 의심하는 습관이 가장 확실한 검산이다.