Логарифм обращает возведение в степень. Поскольку 10³ = 1000, log₁₀ 1000 = 3: логарифм отвечает на вопрос «сколько раз нужно умножить, чтобы получить это число?» В науке и технике логарифмы сжимают величины, охватывающие огромные диапазоны, — концентрацию ионов водорода, интенсивность звука, энергию землетрясений — до удобных чисел. В этом руководстве разобраны логарифмические функции SciKey, переход к новому основанию, свойства логарифмов и практические примеры.
1. Логарифмические функции в SciKey
| Ввод | Значение | Пример |
|---|---|---|
log(x) | Десятичный логарифм (основание 10) | log(1000) = 3 |
ln(x) | Натуральный логарифм (основание e ≈ 2,71828) | ln(e^2) = 2 |
log(a, x) | Логарифм x по основанию a, logₐx | log(2, 8) = 3 |
log2(x) | Двоичный логарифм | log2(1024) = 10 |
В log(a, x) основание стоит первым — в том же порядке, что и на калькуляторах Casio. log(2, 8) — это log₂8 = 3, а log(8, 2) — это log₈2 = 0,333333333333 (= 1/3). Функция LOG в электронных таблицах принимает LOG(число; основание), то есть в обратном порядке, — будьте внимательны при переносе формул.
Обратные функции — 10^x и e^x (или exp(x)). 10^(log(7)) возвращает 7.
2. Переход к новому основанию
Логарифм по любому основанию вычисляется через одну логарифмическую функцию:
logₐx = ln x / ln a = log x / log a
Пример: log₂1000 = ln(1000)/ln(2) = 9,96578428466, то же, что log(2, 1000). Отсюда же видно, что для записи 1000 в двоичной системе нужно 10 бит (2⁹ = 512 < 1000 < 1024 = 2¹⁰).
Заключайте каждый логарифм в свои скобки. ln(1000)/ln(2) — правильно; в log 1000/log 2 нет скобок функций, и такой ввод отклоняется как недопустимый.
3. Свойства логарифмов
| Свойство | Формула | Проверка |
|---|---|---|
| Произведение | log(ab) = log a + log b | log(20) = log 2 + log 10 = 1,30103 |
| Частное | log(a/b) = log a − log b | log(0,5) = −0,30103 |
| Степень | log(aⁿ) = n log a | log(2¹⁰) = 10 × 0,30103 = 3,0103 |
| Логарифм единицы | log 1 = 0 | При любом основании |
| Логарифм основания | logₐa = 1 | ln e = 1 |
Полезные значения для прикидок в уме: lg 2 ≈ 0,30103, lg 3 ≈ 0,47712, ln 2 ≈ 0,693147, ln 10 ≈ 2,302585.
4. Пример 1: pH
pH = −lg[H⁺], где [H⁺] — концентрация ионов водорода в моль/л.
- [H⁺] = 3,2×10⁻⁴ моль/л →
-log(3.2E-4)= 3,49485002168 - Обратно: у раствора с pH 3,5 концентрация
10^-3.5= 3,16227766017×10⁻⁴ моль/л
Уменьшение pH на единицу означает в десять раз больше ионов водорода: при pH 3 их в 100 раз больше, чем при pH 5.
В -log(...) минус относится ко всему логарифму, поскольку вызовы функций вычисляются раньше унарных знаков.
5. Пример 2: децибелы
- Отношение мощностей: дБ = 10 lg(P₂/P₁). Усиление мощности в 200 раз →
10log(200)= 23,0102999566 дБ - Отношение напряжений или звукового давления: дБ = 20 lg(V₂/V₁). Усиление напряжения в 5 раз →
20log(5)= 13,9794000867 дБ - 3 дБ — это примерно удвоение мощности:
10log(2)= 3,01029995664
Множитель 10 для мощности и 20 для амплитуды многих сбивает с толку. Мощность пропорциональна квадрату амплитуды, а lg(V²) = 2 lg V — отсюда 20.
6. Пример 3: время удвоения при сложных процентах
При 5 % годовых со сложными процентами время удвоения n удовлетворяет уравнению 1,05ⁿ = 2:
n = ln 2 / ln 1,05 → ln(2)/ln(1.05) = 14,2066990829 года
log(1.05, 2) даёт тот же результат. Известное «правило 72» (72 ÷ 5 = 14,4 года) — приближение этого значения.
7. Пример 4: период полураспада
Если принять период полураспада углерода-14 равным примерно 5730 годам, то образцу, в котором осталось 30 % исходного углерода-14,
t = период полураспада × ln(оставшаяся доля) / ln(0,5) → 5730×ln(0.3)/ln(0.5) = 9952,81285457
то есть около 9950 лет. И ln(0,3), и ln(0,5) отрицательны, поэтому их отношение положительно. Тем же способом рассчитывают выведение лекарств и разряд конденсатора (e^(−t/RC)).
Пример с конденсатором: в цепи с RC = 2 с время, за которое напряжение падает до 10 %, равно t = −RC ln(0,1) → -2ln(0.1) = 4,60517018599 с.
8. Пример 5: магнитуда и энергия землетрясения
Каждая ступень (моментной) магнитуды соответствует примерно в 10^1,5, то есть в 32 раза, большей энергии. При разнице магнитуд ΔM отношение энергий равно 10^(1,5ΔM).
- Магнитуда 6 против 5:
10^1.5→ в 31,6227766017 раза - Магнитуда 7 против 5:
10^(1.5×2)→ в 1000 раз
Показатель — это выражение, поэтому нужны скобки: 10^(1.5×2). Ввод 10^1.5×2 даёт (10^1,5)×2 = 63,2455532034.
9. Пример 6: количество цифр огромного числа
Натуральное число N содержит floor(lg N) + 1 цифр. Сколько цифр у 2⁶⁴? floor(64log(2))+1 → 20. И действительно, 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616 — двадцатизначное число. Логарифмы позволяют оценить числа, которые неудобно вычислять напрямую.
10. Ошибки области определения
Вещественные логарифмы определены только для положительных чисел.
log(0)→ математическая ошибка. При x → 0 значение log x неограниченно убывает (−∞).ln(-5)→ математическая ошибка. Логарифм отрицательного числа комплексный, а SciKey не поддерживает комплексные числа.- Логарифм положительного числа меньше 1 просто отрицателен, это не ошибка:
log(0.001)= −3.
Если выражение выдаёт ошибку, проверьте, не стало ли значение под логарифмом нулевым или отрицательным, как в ln(1-x) при x = 1,2.
11. Типичные ошибки
- Путаница log и ln. В некоторых областях (чистая математика, часть учебников физики) «log» означает натуральный логарифм, а в русскоязычной литературе десятичный логарифм обычно обозначают lg. Уточните, какое основание имеет в виду источник.
- Порядок аргументов в log(a, x). В SciKey и на калькуляторах Casio основание стоит первым.
- Разложение log(a+b) на log a + log b. Логарифм превращает произведение в сумму, но не сумму во что-то проще. Верно лишь log(ab) = log a + log b.
- Множители в децибелах. 10 для мощности, 20 для амплитуды.